1.13. Таблица эквивалентных бесконечно малых

2.1. Предел (3), представляющий собой мгновенную скорость изменения функции в точке х, называется производной функции в точке x. Используется несколько различных стандартных обозначений этой производной:

( 4 )

Последнее из этих обозначений использовал Ньютон, предпоследнее - Лейбниц, а первые три ввел французский математик Коши. В дальнейшем мы в основном для обозначения производной функции будем использовать обозначение Коши (или ), а при необходимости и (читается: производная функции y по переменной x).

Итак,

, ( 5 )

или подробнее

( 6 )

– математическое определение производной функции в заданной точке x. Читается это определение так: производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2.2. Н о у производной функции есть и наглядный геометрический смысл. Для его выяснения рассмотрим рис. 4. Проведем к графику функции через точку и точку секущую , а через точку касательную L. Их углы наклона к оси ох обозначим соответственно и . Из следует:

( 8 )

Если устремить к нулю, то и устремится к нулю, а точка N устремится к точке M. Соответственно секущая устремится к касательной L, проведенной в точке M, а угол наклона секущей устремится к углу наклона касательной. То есть при . Но тогда

при ( 9 )

Иначе говоря,

, ( 10 )

что с учетом ( 5) дает

2.3. Таблица производных основных элементарных функции

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

5^* ;

6. ;

6^*. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ; ( 17 )

13. ;

14. .

2.4. Нахождение производных многих других элементарных функций (более сложных, не входящих в эту таблицу) осуществляется на основе следующих правил вычисления производных (правил дифференцирования функций):

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. . ( 18 )

Здесь и – любые две дифференцируемые функции, а С – любая константа.

Несмотря на то, что таблица производных ( 17 ) и правила дифференцирования ( 18 ) известны еще из курса школьной математики, приведем вывод этих правил, основанный на использовании определения производной (6).

2.5. Дифференциал функции.

Понятие дифференциала функции тесно связано с понятием ее производной. Как и производная функции, дифференциал функции принадлежит к числу важнейших понятий математического анализа и введен в математику Ньютоном и Лейбницем параллельно с понятием производной.

Вспомним определение производной функции в некоторой фиксированной точке x ( формулы 5 и 6):

( 19 )

Здесь – приращение аргумента x, а – соответствующее приращение функции y.

Будем считать, что данная функция дифференцируема в рассматриваемой фиксированной точке x. То есть будем считать, что производная в этой точке существует и конечна. Тогда, согласно ( 19 ),

при ( 20 )

А это значит, что при малых значениях будем иметь:

( 21 )

Причем приближенные равенства ( 21 ) будут тем точнее, чем меньше (и соответственно чем меньше ).

А теперь будем считать приращение аргумента функции не просто малым, а бесконечно малым, и назовем его дифференциалом аргумента x. Введем (следуя Лейбницу) для него и специальное обозначение:

dx – дифференциал аргумента x. ( 22 )

Таким образом, дифференциал dx аргумента x – это бесконечно малое приращение этого аргумента. Конечно, только что введенное понятие дифференциала переменной x – математическая абстракция (она сродни диаметру точки или толщине линии). Но математика постоянно пользуется абстракциями, поэтому еще одна абстракция пугать нас не должна.

Если приращение аргумента x бесконечно мало ( ), то и приращение функции y тоже будет бесконечно мало. Обозначим его символом dy и будем называть дифференциалом функции y. Так как , то

– дифференциал функции y.

2.7. Оба равенства ( 24 ) имеют важный смысл. Первое из них дает выражение производной функции y через отношение дифференциалов dy и dx функции и аргумента. А второе дает выражение дифференциала функции dy через производную функции и дифференциал аргумента dx.

Кстати, если учесть, что , то последнее равенство ( 24 ) можно записать подробнее:

( 25 )

А если еще учесть исходное выражение ( 23 ) для дифференциала функции , то из последнего равенства получаем:

( 26 )

Равенство ( 26 ) позволяет записать значение функции в точке , бесконечно близкой к точке x, через значение функции и ее производной в самой точке x. Эта формула имеет большое теоретическое значение.

Если в равенстве ( 26 ) заменить бесконечно малое dx на малое, но конечное , то вместо точного оно станет приближенным:

2.8. Производная сложной функции.

Пусть , а – любые две дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда функция – так называемая сложная функция от x (она представляет собой функцию от функции). Найдем ее производную (производную от y по x). Для этого дадим аргументу x некоторое приращение , то есть перейдем от x к . Приращение величины x вызовет некоторое приращение величины u, а то, в свою очередь, вызовет некоторое приращение величины y. Так как функции и являются, по условию, дифференцируемыми функциями своих аргументов, то они являются и непрерывными функциями своих аргументов. То есть при и , и . А тогда, согласно определению производной, получаем:

.

Итак, если – сложная функция от x, то . Или, опуская значок x (но подразумевая его) запишем короче:

(1)

Формула (1) представляет собой правило вычисления производной (правило дифференцирования) сложной функции.

2.9. Производная функции, заданной неявно.

Если функция задана в неявном виде, то есть задана уравнением (в этом уравнении y не выражен через x, и выразить его не удается), то при нахождении производной такой функции поступают следующим образом:

1) Дифференцируют обе части уравнения по x, помня при этом, что y – это функция от x. В результате появляется некоторое равенство , содержащее искомую производную .

2) Выражают из полученного равенства эту производную.

Таким образом, производную функции y, заданной неявно уравнением , находят по схеме:

2.10. Производная обратной функции.

Пусть дана возрастающая или убывающая функция , определенная на некотором отрезке . Пусть f(a)=c, f(b)=d.Для определенности будем далее рассматривать возрастающую функцию.

Рассмотрим два различных значения x₁ и x₂, принадлежащих отрезку . Из определения возрастающей функции следует, что если x₁ < x₂ и , , то y₁<y₂. Следовательно, двум различным значениям x₁ и x₂ соответствуют два различных значения функции y₁ и y₂. Справедливо и обратное, т.е. y₁ < y₂. , а , то из определения возрастающей функции следует, что x₁ < x₂. Таким образом, между значениями x и соответствующими значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения x как значения функции, получаем x как функцию y: .

Эта функция называется обратной для функции . Очевидно, что 1) функция является обратной для функции ;

2) если возрастающая ( или убывающая ) функция непрерывна на отрезке , причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке .

Теорема 1. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке y имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точке x функция имеет производную , равную , т.е. справедлива формула .

Другими словами, производная одной из двух взаимно обратных функций равна единице, деленной на производную второй из этих функций при соответствующих значениях x и y.

Доказательство. Возьмем приращение , тогда . Поскольку - монотонная функция, то , а значит имеет место тождество . (5)

Так как функция - непрерывная, то при . Переходя к пределу при в обеих частях равенства (5), получим

или ,

Что и требовалось получить.

Используя доказанную теорему, получим табличные производные функций y=arcsinx и y=arctgx.

2.11. Производная функции, заданной параметрически.

Если функция задана в параметрической форме

, (3)

то ее производную находят по формуле:

. (4)

Подтвердим эту формулу. Пусть и – дифференцируемые функции параметра t. Зафиксируем некоторое t, а затем придадим ему приращение . При этом x и y получат некоторые приращения и , причем при и , и (функции и – дифференцируемые, а значит, и непрерывные). А тогда

.

Пример 6. Функция , заданная параметрически уравнениями

,

представляет собой параметрическое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R (рис. 1).

Найдем производную этой функции:

2.12 Логарифмическое дифференцирование или производная сложной показательной функции.

Сложной показательной функцией – называется функция у которой и основание и показатель степени являются функциями от х, например , , вообще всякая функция вида есть сложная показательная функция.

Теорема 1. Если , то .

Доказательство. Логарифмируем функцию y: . Дифференцируя полученное равенство по х, будем иметь: , откуда . Подставляя сюда выражение , получаем .

Таким образом, производная сложной показательной функции состоит из двух слагаемых: первое слагаемое получается, если при дифференцировании предположить, что и есть функция от х, а v есть постоянная ( т.е. если рассматривать как степенную функцию); второе слагаемое получается, если предположить, что v есть функция от х, а u=const ( т.е. если рассматривать как показательную функцию ).

2.13 Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ролля: ( теорема о корнях производной )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка по крайней мере одна точка x=с, a<c<b , в которой производной обращается в нуль, т.е. .

( см. рис.1 )

Геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ох в точках с абсциссами a и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, , в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа: ( теорема о конечных приложениях )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что . ( см. рис.2 )

Геометрическое истолкование: если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Теорема Коши: ( теорема об отношении приращений двух функций )

Если f(x) и - две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемых внутри него, причем нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка найдется по крайней мере одна точка с, a<c<b, что .

2.15. Правило Лопиталя вычисления пределов.

Это правило состоит в следующем. Если требуется найти предел вида

, (4)

где x₀ – число или символ , и этот предел приводит к неопределенности вида или , то

, (5)

Словесная формулировка правила Лопиталя (5) такова: предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует.

Доказательство. Исчерпывающее доказательство правила Лопиталя довольно громоздко. В связи с этим ограничимся рассмотрением случая, когда предел (4) приводит к неопределенности вида :

; ; . (6)

При этом будем считать, что x₀ – некоторое конечное число.

Если функции и непрерывны в точке x₀, то в силу определения непрерывности функций верны следующие равенства и . Если же эти функции в точке x₀ разрывны, то их значения при x₀ не равны нулю (у них другие значения или они там вообще не определены). Тогда переопределим (или доопределим) их в точке x₀ так, чтобы стало и . После этого, в силу того же определения непрерывности функций, функции и станут непрерывными в точке x₀. Далее, будем считать, что обе эти функции будут непрерывно дифференцируемыми в окрестности точки х₀, включая саму точку х₀, причем . Тогда получим:

Примечание. Предел отношения производных, стоящий в правой части равенства (5), тоже может приводить к неопределенности вида или . Тогда правило Лопиталя можно применить и к нему. То есть применить это правило повторно.

2.16. Дифференциалы высших порядков.

Найдя дифференциал dy данной функции , можем затем найти дифференциал от этого дифференциала. Тем самым получим так называемый дифференциал второго порядка данной функции :

.

Итак, если – некоторая дважды дифференцируемая функция, то ее дифференциал второго порядка (дэ два игрек) находится по формуле:

(7)

Отсюда, кстати, получаем:

, где (8)

Тем самым находит свое оправдание обозначение Лейбница (1) для производной второго порядка функции . Аналогично получает оправдание и обозначение (2) для производной третьего порядка, которая выражается через дифференциал (дэ три игрек) третьего порядка

, откуда , (9)

и т.д.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Дифференциал dy функции y (дифференциал первого порядка), как показано выше, имеет инвариантную (неизменную) форму независимо от того, является ли аргумент x функции y независимой переменной или, наоборот, сам является функцией от другой переменной. А вот для дифференциалов высших порядков ( , , …) эта инвариантность места не имеет.

Действительно, пусть – сложная функция от t. Тогда, согласно инвариантности формы первого дифференциала dy, имеем:

.

А вот

(10)

Действительно,