1.1 Если имеет место (2), то говорят, что переменная х стремится к числу а. Это число а называется пределом переменной x. И записывается это следующим образом:

<=> <=> (3)

Читается: предел x равен a (x стремится к a).

Стремление переменной x к своему пределу a можно наглядно проиллюстрировать на числовой оси. Точный математический смысл этого стремления x к a состоит в том, что какое бы малое положительное число ни взять, а значит, каким бы малым промежутком ни окружить на числовой оси число a, в этот промежуток (в так называемую -окрестность числа a) попадут, начиная с некоторого номера N, все значения xn переменной x. В частности, на рис. 1 в изображенную -окрестность числа a попали все значения xn переменной x, начиная с номера .

Определение: Число а называется пределом последовательности ( пределом переменной х или пределом функции f(n)), если каково бы ни было наперед заданное положительное число , всегда можно найти такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N будет выполняться неравенство .

1.2. Основные свойства переменных величин и их пределов

1. Если (переменная x неизменна и равна постоянной a), то естественно считать, что и . То есть предел постоянной равен ей самой:

(5)

2. Если , и a и b конечны, то . То есть

(6)

(предел суммы или разности переменных равен сумме или разности их пределов).

3. Если , и a и b конечны, то . То есть

(7)

(предел произведения переменных равен произведению их пределов).

4. Если , , a и b конечны и , то . То есть

(8)

(предел частного равен частному пределов).

5. Если , и – любые постоянные числа, то . То есть

(9)

Действительно, на основании предыдущих свойств имеем:

.

6. Если x – бесконечно малая переменная величина ( ), то – бесконечно большая переменная величина ( ).

7. Если x – бесконечно большая переменная величина ( ), то – бесконечно малая переменная величина ( ).

8. Если переменная x ограничена (это значит, что все ее значения x_n расположены в некотором конечном числовом промежутке ), а переменная y бесконечно малая ( ), то переменная – тоже бесконечно малая ( ).

9. Если переменная x ограничена, а переменная y бесконечно большая ( ), то переменная – бесконечно малая ( ).

10. Теорема Вейерштрасса.

а) Пусть значения x_n переменной x монотонно возрастают и при этом все они меньше некоторой постоянной величины C. Такая переменная x называется монотонно возрастающей и ограниченной сверху (числом C). Она заведомо имеет конечный предел a, причем . Наглядную иллюстрацию этой ситуации дает рис. 2.

б) Пусть значения x_n переменной x монотонно убывают и при этом все они больше некоторой постоянной величины C. Такая переменная x называется монотонно убывающей и ограниченной снизу (числом C). Она заведомо имеет конечный предел a, причем . Наглядную иллюстрацию этой ситуации дает рис. 3.

1.3. Пусть даны множества действительных чисел Х и Y. Функциональной зависимостью ( функцией ) называется закон, по которому каждому значению величины , называемой аргументом, ставится в соответствие некоторое (единственное ) число из множества Y. Множество Х называется областью определения функции. (D(f)). Множество значений (E(f)) числовой функции f называется множество всех , для которых существует хотя бы одно такое, что f(x)=a.В математике словом «функция» называют и закон (правило) соответствия f и величину f(x).

1.4. Существует три способа задания функцию:

1. Аналитический – задание функции формулой, показывающей способ вычисления значения функции по соответствующему значению аргумента. При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение у через х, т.е. формула имеет вид , неявно, когда x и y связаны между собой уравнением вида F(x,y)=0, а также параметрически, когда соответствующие друг другу значения x и y выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

2. Табличный – указание значений функции от соответствующих значений аргумента. Способ применяется в тех случаях, когда область определения функции состоит из конечного числа значений. В виде таблиц записывают результаты экспериментального исследования каких-либо процессов.

3. Графический . Для функции заданной графиком, по чертежу находятся приближенно значения y, отвечающие данным значениям х.

1.5. Вспомним основные функции, изученные в курсе элементарной математике и их графики.

1. линейная , D(f)=R, E(f)=R при и {b} при k =0. Графиком является прямая с угловым коэффициентом k, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс. Число b – ордината точки пересечения графика с осью ординат.

2. квадратичная , D(f)=R, E(f)= или . Графиком является парабола.

3. обратно-пропорциональной зависимости , D(f)= , E(f)= . Графиком является гипербола.

4. показательная , D(f)=R, E(f)= .

5. логарифмическая , D(f)= , E(f)= R.

6. тригонометрические функции :

y=sinx, D(f)=R, E(f)= .

y=cosx, D(f)=R, E(f)= .

y=tgx, D(f)= , E(f)=R.

y=ctgx, D(f)= , E(f)=R.

7. обратные тригонометрические функции :

y=arcsinx, D(f)= , E(f)= .

y=arccosx, D(f)= , E(f)= .

y=arctgx, D(f)=R, E(f)= .

y=arcctgx, D(f)=R, E(f)= .

1.6. Пусть – некоторая функция, рассматриваемая на некотором числовом множестве оси ох (например, на отрезке или на интервале этой оси). И пусть x₀ – некоторая внутренняя или граничная точка этого множества. Для отрезка такой точкой x₀ может быть любая точка этого отрезка. А для интервала – любая точка этого интервала, включая не принадлежащие ему его границы a и b.

Будем рассматривать значения функции для аргумента x, последовательно принимающего некоторые значения (x₁; x₂; …x_n; …), выбранные таким образом, что . При этом может оказаться, что соответствующая последовательность значений (y₁; y₂; …y_n; …) функции стремится к некоторому конечному или бесконечному y₀ ( ). И если это стремление y к y₀ осуществляется при любом способе стремления x к x₀, то число y₀ называется пределом функции при . И записывается это так:

(1)

(читается: предел функции при равен y₀). Обратно, равенство (1) означает, что при функция . Причем стремление y к y₀ осуществляется при любом способе стремления x к x₀.

Дадим формализованное определение предела функцию Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a ( или в точке а ), если для любого наперед заданного положительного числа ( хотя бы и как угодно малого ) можно найти такое положительное число , что для всех значений х, входящих в область определения функции, отличных от а и удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

В определении предела функции вовсе не требуется, чтобы функция f(x) была непременно определена в точке а. Для того чтобы функция f(x) имела возможность стремиться к пределу при , необходимо лишь, чтобы в области её существования были точки, как угодно близкие к а и отличные от а.

1.7. Среди функций, имеющих предел в точке, выделяют бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f(x) называется бесконечно малой при или , если или . Функция f(x) называется бесконечно большой при , если имеет место одно из равенств , , .(Аналогично при )

Для сравнения бесконечно малых функций обычно рассматривают их отношения.

Если отношение имеет конечный и отличный от нуля предел, т.е. если , а следовательно, , то бесконечно малые и называются бесконечно малыми одного порядка.

Если отношение двух бесконечно малых стремится к нулю, т.е. ( а ), то бесконечно малая называется бесконечно малой величиной высшего порядка, чем бесконечно малая , а бесконечно малая называются бесконечно малой низшего порядка, чем бесконечно малая .

1.8. При нахождении предела таких функций пользуются свойствами пределов функций. Сформулируем их.

1) Предел постоянной равен самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3) Пусть функции имеют в точке конечные пределы, соответственно равные . Тогда функции

имеют в точке пределы, соответственно равные

Докажем некоторые из этих свойств из пункта 3.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме пределов этих функций.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)=b+ , g(x)=c+ , где и - бесконечно малые функции. Значит f(x)+g(x)= (b+c) +( ), т.к. (b+c) – есть постоянная величина, а ( ) – величина бесконечно малая, тогда на основании того первого свойства бесконечно малых функций заключаем, что lim( f(x)+g(x))=b+c= lim f(x)+lim g(x) , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)= b+ , g(x)= c+ , где и - бесконечно малые функции. Значит f(x)*g(x)= . Произведение bc – есть величина постоянная, а - бесконечно малая, на основании свойств бесконечно малых функций. Таким образом, по свойству 1 бесконечно малых функций получаем что lim( f(x)*g(x))=b*c= lim f(x)*lim g(x), что и требовалось доказать.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)= b+ , g(x)= c+ , где и - бесконечно малые функции. Произведем следующие преобразования: . Дробь есть постоянное число, а дробь - бесконечно малая, на основании свойств бесконечно малых функций. Таким образом, по свойству 1 бесконечно малых функций получаем что lim( f(x)/g(x))=b/c= lim f(x)/lim g(x), что и требовалось доказать.

В тех случаях, когда либо , либо , либо оба вместе равны , или в частном , применение указанных правил не дает возможности найти предел составной функции. Рассмотрим пример. Пусть

.

Возьмем теперь

.

1.9. Рассмотрим и такой вид функций:

,

.

Такие ситуации, где значение предела зависит от конкретного вида функций участвующих в выражении, называются неопределенностями.

Предел разности двух стремящихся к функций, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Предел частного двух функций, стремящихся к нулю, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Аналогично определяются и другие неопределенности: .

1.10. Об основных способах раскрытия неопределенностей уже мы говорили в предыдущей лекции. В этой лекции мы обсудим этот вопрос более подробно.

При нахождении пределов функций вначале необходимо вместо независимой переменной подставить ее предельное значение. Если при этом получается конечное значение функции, то оно и будет ее пределом. Если при подстановке выясняется, что возникает неопределенность, то нужно от нее избавиться  раскрыть неопределенность. Для этого раскрытия используются, в первую очередь, два подхода. Первый: преобразование функций, стоящих под знаком предела, с помощью алгебраических и тригонометрических формул. Второй: выделение в рассматриваемой функции некоторых эталонных пределов, называемых замечательными. При раскрытии неопределенностей после каждого преобразования функции в нее подставляют предельное значение переменной, чтобы проверить, осталась ли неопределенность. Действия продолжают до тех пор, пока неопределенность не будет устранена.

Предел дробно-рациональной функции. Прежде чем мы перейдем к разбору возможных преобразований при возникновении неопределенностей отметим еще раз тот факт, что в области непрерывности любой функции её предел равен значению функции в указанной предельной точке, т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль. Если , то , при .

Пример 1: Найти .

Функция - целая рациональная. Заменим в аналитическом выражении функции х его предельным значением и получим: .

Пример 2: Найти .

Функция - дробно-рациональная. Прежде чем заменять в аналитическом выражении функции х его предельным значением, нужно проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х=3. Проверяем: .

1.11. Вычислению многих пределов, содержащих неопределенности, часто помогает использование двух так называемых замечательных пределов:

1) (x – угол в радианах)

Докажем первый замечательный предел. Для этого вспомним школьную формулу для длины l произвольной дуги окружности (рис.1):

А теперь рассмотрим рис. 2:

; ; ; ; ( – в радианах).

При хорда M₁M₂ и дуга M₁NM₂, неограниченно уменьшаясь, практически становятся неразличимыми (малая дуга практически не отличается от стягивающей ее хорды). То есть их отношение стремится к единице. Таким образом, при дробь . А это и означает, что

( – угол в радианах)

Полученный результат совпадает (при другом обозначении) с первым замечательным пределом (1).

1.12. 2) , где .

( в другом виде )

Второй замечательный предел, приводит к важному для всей высшей математики числу e (к Неперову числу – по имени шотландского математика 16–го века Джона Непера, введшего в математику это число). Приведем доказательство.

Теорема 1: Переменная величина , где n- натуральное число, при имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Доказательство: По формуле бинома Ньютона мы можем написать :

Произведем алгебраические преобразования.

(2)

Из полученного равенства можно сделать вывод, что переменная величина является возрастающей. Действительно,

1) все члены разложения – положительны;

2) при переходе от значения n к (n+1) каждое слагаемое суммы возрастает, т.к. ;

3) добавляется ещё одно слагаемое.

Также переменная величина ограничена. Докажем этот факт. Учитывая, что ; и т.д., из (2) получаем и

.

Заметив, что . Используем эти оценки и получим: . Слагаемые в квадратных скобках образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Поэтому

. Подытоживая все сказанное, получаем : .

Итак, переменная величина - возрастающая и ограниченная. На основании свойств пределов она имеет предел. Этот предел обозначим буквой е.