§2. Вектори. Векторнi простори.

Питання для самоперевірки:

1. Записати аксiоми векторного простору…

2. Наслiдки iз аксiом векторного простору…

3. Приклади векторних просторiв…

4. Арифметичний векторний простiр – це…

5. Означення пiдпростору…

6. Ознака пiдпростору…

7. З’ясувати чи є множина невироджених матриць другого порядку з елементами з поля R дійсним лiнiйним простором вiдносно операцiй додавання і множення матриць на число?

8. Вектор b є лiнiйною комбінацією векторiв а₁,а₂,…,а_n, якщо…

9. Вказати ознаку лiнiйної залежностi системи векторiв…

10. Записати рiвняння (*) Воно використовується для…

10. Впевнитись в тому, що система векторiв лiнiйно залежна. Виразити один з векторiв через інші: а₁ = 1/2, a₂ = 3i, a₃ = -4-6i.

11. Які з систем векторів є лiнiйно залежними, а якi лiнiйно незалежними:

1. а₁ = (1,-2,-3), a₂ = (2,5,3), a₃ = (1/3,2/3,1);

2. b₁ = (4,1,-2), b₂ = (-2,0,1), b₃ = (0,0,0);

3. c₁ = (-17,19,34), c₂ = (0,4,5), c₃ = (0,0,-24).

13. Розмiрнiсть векторного простору дорiвнює…

14. В n-мiрному векторномиу просторі довільну лiнiйну незалежну систему можна доповнити до …

15. Базис – це… . Ознака базису…

16. Координатами вектора в даному базисi є…

17. Чи є базисом V₃ данi системи векторiв:

а) а₁ = (3,2,1), а₂ = (1,3,-2), а₃ = (1,1,-6);

b) b₁ = (1,1,1), b₂ = (1,2,1), b₃ = (3,4,3).

17. Чи можливо, щоб базис V₃ складався з 4 лiнiйно незалежних векторiв, а з 2? Вiдповiдь пояснити.

19. Системою твiрних називається.

20. Ранг системи векторiв – це…

21. Обчислити ранг такої системи векторiв:

а₁ = (1,0,0,-1), a₂ = (2,1,1,0), a₃ = (1,1,1,1), a₄ = (2,2,2,2), a₅= (0,1,2,3).

22. При якому значеннi  система векторiв має ранг 2; 3:

a₁ = (1,2,3), a₂ = (2,4,), a₃ = (-1,3,-2)?

23. Матриця переходу вiд базиса  до базиса ₁ називається…

24. Формула зв’язку мiж матрицями в рiзних базисах…

Задачі:

1. З’ясувати лінійно залежною чи лінійно незалежною є система векторів:

а) а₁ = (1,2,1), a₂ = (2,1,2), a₃ = (1,2,3)

b) a₁ = (1,0,1), a₂ = (2,3,4), a₃ = (1,-3,-3)

c) a₁ = (1,1,0,1), a₂ = (2,1,3,1), a₃ = (1,1,0,0), a₄ = (0,1,-1,-1)

d) A₁ = A₂ = A₃ = A₄ =

e) a₁ = (1,2,-1), a₂ = (2,-1,2), a₃ = (-7,1,-14)

2. Вектори е₁,е₂,…,е_n, х задані своїми координатами в деякому базисі. Показати, що вектори е₁,е₂,е₃ утворюють базис і знайти координати вектора х в цьому базисі:

а) е₁ = (2,1,-3), е₂ = (3,2,-5), е₃ = (1,-1,1), x = (6,2,-7)

b) е₁ = (1,2,1), е₂ = (2,3,3), е₃ = (3,1,7), x = (3,3,5)

c) е₁ = (1,1,1,1), е₂ = (1,1,-1,-1), е₃ = (1,-1,1,-1), е₄ = (1,-1,-1,1),

x = (1,2,1,1)

d) е₁ = (3,1,-3), е₂ = (-5,2,1), е₃ = (7,3,4), x = (11,12,-1)

e) е₁ = (1,-7,1), е₂ = (2,1,-1), е₃ = (5,-5,-1), x = (1,2,3)

3. Розв’язати рівняння:

a) 3(a₁ - 2x) + 5(a₁ + a₃-3x) = 2(a₃ - 4x),

якщо 1) a₁ = (4,3), a₂ = (2,-1), a₃ = (-1,4)

2) a₁ = 4+3i, a₂ = 2-i, a₃ = -1+4i

b) 2a₁ + 3a₂ - a₃ - 7x = a₄ ,

якщо a₁ = (-1,2,-3,4), a₂ = (-1,-1,-1,5), a₃ = (2,-5,-1,3), a₄ = (2,1,-2,-1)

4. Дано систему векторів a₁,…, a_n. Довести, що вказана підсистема

є бизисом даної системи векторів.

a) a₁ = (1,2,3), a₂ = (5,6,7), a₃ = (1,1,1), a₄ = (2,-1,4), a₅ = (2,0,5),

a₁, a_3, a₄

2. a₁ = (1,2,3,4), a₂ = (0,2,3,4), a₃ = (0,0,3,4), a₄ = (0,0,0,4),

a₅ = (5,1,4,3), a₆ = (7,8,1,9), a₇ = (3,3,3,3), a₁, a₂, a₃, a₄

2. a₁ = (1,1,1,1), a₂ = (0,1,0,0), a₃ = (0,1,1,0), a₄ = (0,1,1,1),

a₅ = (5,6,7,8), a₆ = (8,7,6,5), a₇ = (3,3,3,3), a₁, a₂, a₃, a₄

d) a₁ = (1,2,3,4), a₂ = (2,3,4,5), a₃ = (3,4,5,6), a₄ = (4,5,6,7), a₁, a₂

e) a₁ = (3,1,1,4), a₂ = (0,4,10,1), a₃ = (1,7,17,3), a₄ = (2,2,4,1), a₂, a₂, a₃

5. Обчислити ранг системи векторів в залежності від параметра

a) a₁ = (2,5,1,3), a₂ = (4,6,3,5), a₃ = (4,14,1,7), a₄ = (2,-3,3, )

b) b₁ = (1, ,-1,2), b₂ = (2,-1, ,5), b₃ = (1,10,-6,1)

c) a₁ = (1,0,-1,2), a₂ = (2,-1, ,5), a₃ = (1,10,-6,1)

d) b₁ = ( ,1,3,4,1), b₂ = (1, ,-1,1,5), b₃ = ( , ,4,3,-4), b₄=(1,1,7,7,-3)

е) а₁ = (3,1,1,4), а₂ = ( ,4,10,1), а₃ = (1,7,17,3), а₄ = (2,2,4,3)

6. В просторі С_[a,b] візьмемо декілька векторів.

а) f₁(x) = 1, f₂(x) = x, f₃(x) = x², f₄(x) = x² + x + 1. Довести, що система всіх цих векторів лінійно залежна, а будь-які три з цих векторів лінійно незалежні.

b) f₁(x) = 1 + 2x + 2x², f₂(x) = 2 + 3x + 4x², f₃(x) = 3 + 5x + 7x² . Довести, що система цих векторів лінійно залежна.

c) f₁(x) = 1, f₂(x) = x, f₃(x) = x², f₄(x) = x³. Довести, що система цих векторів утворює базис і знайти координати

f(x) = 5 - 2(t+1) + 3(t+1)² + (t+1)³ в цьому базисі.

d)

Довести, що система цих векторів лінійно незалежна. Знайти координати Х₁, Х₂ в цьому базисі.

7. Довести, що

а) якщо система векторів a, b, c лінійно незалежна, то система векторів a + b, b + c, c + a також лінійно незалежна

b) для якого значення k вектори x = ka + b + 3c, y = ka - 2b + c,

z = a – b + c лінійно залежні

с) для якого значення k вектори x = ka + 4b + 2c, y = a + 4b + 2c лінійно залежні

d) для яких значень k, m вектори x = ka + mb + c,

y = a + kb + mc лінійно залежні

8. Знайти k, m, якщо вектори a, b лінійно залежні та

a) 3a + 5b = ka + (2m-1)b

b) (2k - m - 1)a - (3k - m + 10)b = 0

9. Показати, що вектор 2-7і лінійно виражається через вектори 2-3і, 4+2і.