9.2 Действия над векторами в координатах

С векторами, заданными в прямоугольной системе координат совершать действия еще проще, чем с их геометрическими образами. В этой статье мы покажем как выполняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, если известны их координаты, и подробно разберем решения примеров.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy. Рассмотрим векторы   и  . Эти векторы можно разложить по координатным векторам   и   как   и  , что было показано в статье координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Найдем сумму векторов   и  , а также произведение вектора   на произвольное действительное число  .

В силу свойств операций над векторами, справедливы следующие равенства

Правые части этих равенств представляют собой разложение векторов   и   по координатным векторам   и  , следовательно, векторы   и   имеют координаты   и   соответственно.

Аналогично для векторов   и  , заданных в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, мы можем записать   следовательно,  .

Таким образом, координаты суммы векторов   и   равны сумме соответствующих координат векторов   и  , а координаты произведения вектора   на число   равны соответствующим координатам вектора  , умноженным на это число в заданной системе координат.

Если требуется найти координаты суммы нескольких векторов, то они будут равны сумме соответствующих координат каждого из векторов.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Выполните операцию сложения векторов   и  , а также найдите координаты произведения вектора   на число  .

Решение.

Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат каждого из векторов, то  .

При выполнении операции умножения вектора на число, умножаем на это число каждую координату:  .

Ответ:

Вопрос №10 Скалярное произведение векторов ,его свойство и применение. Проекция вектора на ось

10.1 Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация.

 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация.

 Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

10.2 Свойства скалярного произведения

    Для любых векторов   и   справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения  ;

2. свойство дистрибутивности   или  ;

3. сочетательное свойство   или  , где   - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен  , причем  тогда и только тогда, когда вектор   нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения  . По определению   и  . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо   и  , тогда  . Следовательно,  , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,   и  , откуда следует