8.3 Коллинеарность векторов

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1.

 Два вектора a и b коллинеарны, если существует число nтакое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2.

 Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3.

 Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

8.4 Компланарность векторов.

 Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называюткомпланарными векторами. (рис. 1).

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

• Для 3-х векторов.

 Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

• Для 3-х векторов.

 Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

• Для n векторов.

 Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

8.5 Действия над векторами на плоскости Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы   и  , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов   и  .

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы   и  . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов   и  .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов   и   получаем:

Вычитание векторов

Вектор   направлен противоположно вектору  . Длины векторов   и   равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов   и   — это сумма вектора   и вектора  .

Умножение вектора на число

При умножении вектора   на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины  . Он сонаправлен с вектором  , если k больше нуля, и направлен противоположно  , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.  А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов   и  :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Вопрос № 9 Разложение вектора по базису. Действия над векторами в координатах

9.1 Разложение вектора по базису

Определение. Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,                       (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

 Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и  –базис  . Возьмем произвольный вектор  . Так как оба вектора   и  коллинеарные одной и той же прямой L, то  . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как  , то найдется (существует) такое число  , что   и тем самым мы получили разложение вектора   по базису   векторного пространства  .

   Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора   по базису   векторного пространства  :

 и  , где  . Тогда   и используя закон дистрибутивности, получаем:

                       .

Так как  , то из последнего равенства следует, что  , ч.т.д.