Вопрос №8 Векторы. Определение, их виды, равенство, коллинеарность, компланарность векторов. Действия над векторами на плоскости
8.1 Векторы. Определение.
Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)
|
рис. 1 |
8.2 Виды векторов.
Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных», «скользящих» и «фиксированных» векторах. Эти виды отличаются понятием равенства двух векторов. Говоря о свободных векторах, отождествляют любые векторы, имеющие одинаковое направление и длину; говоря о скользящих — добавляют, что начало и конец должны лежать на одной прямой, а о фиксированных — должны совпадать. Формально:
Говорят,
что свободные
векторы 
и 
равны,
если найдутся точки 
и 
такие,
что четырёхугольники 
и 
—параллелограммы.
Говорят, что скользящие векторы и равны, если
точки
располагаются
на одной прямой,векторы и равны между собой как свободные векторы.
Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы относительно любой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.
Говорят,
что фиксированные
векторы
и
равны,
если попарно совпадают точки 
и 
, 
и 
.
Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.
Все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами и т. д.) в принципе определены одинаково для всех типов векторов, различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса и т. п.), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).