3.2. Формула полной вероятности.

Пусть в опыте событие А может наступить только совместно с одним из n несовместных событий В₁, В₂… В_n, составляющих полную группу событий (то есть Р[В₁+ В₂+… +В_n] = 1). Тогда так называемая безусловная или полная вероятность реализации события А равна:

,

где – условная вероятность наступления события А совместно с В_i.

Задача.

Из потомства F₂ от скрещивания белой (сс) и серой (СС) мышей взяли одну серую и скрестили с белой (C – доминантный аллель). Какова вероятность того, что из трёх мышей – потомков такого скрещивания все три серые?

Схема решения.

Результаты исходных скрещиваний до F₂ включительно удобно представить в следующем виде:

Р:	сс	х	СС
		↓
F1		Сс	x	Сс
			↓
F2		СС	Сс	сс
		1/4	1/2	1/4

Серая мышь, взятая из F₂ для скрещивания с белой не могла иметь генотип сс, а только СС (событие В₁) или Сс (событие В₂). Поэтому В₁ и В₂ – события, составляющие полную группу. Значит, вероятность суммы этих событий равна 1. “Внутри” этой суммы вероятность Сс в два раза больше, чем СС. Следовательно, вероятность того, что взятая из F₂ серая мышь имела генотип СС равна Р(В₁) = 1/3, а генотип Сс Р(В₂) = 2/3.

Если для скрещивания с белой мышью случайно взяли серую мышь с генотипом СС, то после скрещивания СС х сс в потомстве будут все серые мыши, значит для события В₁ условная вероятность появления всех трёх серых мышей в потомстве равна 1³. Если же для скрещивания случайно взяли серую мышь с генотипом Сс (событие В₂), то после скрещивания Сс х сс в потомстве будет ½ серых (Сс) и ½ белых (сс) мышей, и условная вероятность того, что все три потомка будут серыми, равна (½)³.

Теперь можно оценить искомую полную вероятность Р(А)=1/3∙(1)³+2/3∙(1/2)³=5/12=0,42

Пример. Определим соотношение долей генотипов в F₃ после самоопыления популяции F₂ пшеницы, полученной из F₁ (AA x aa).

По формуле полной вероятности событие А “зерно, случайно взятое из F_3, несет генотип АА” имеет вероятность: Р(АА)=1/4∙1+1/2∙1/4+1/4∙0=0,375.

Действительно, событие А может произойти совместно с одним из 3-х событий:

1. В₁ – это зерно вызрело на растении F₂, имеющем генотип АА;

2. В₂ – это зерно вызрело на растении F₂, имеющем генотип Аа;

3. В₃ – это зерно вызрело на растении F₂, имеющем генотип аа.

Р(В₁) = 1/4 – вероятность того, что это случайно взятое зерно вызрело на растении АА из F₂;

= 1 – вероятность того, что это случайно взятое зерно, образовавшееся в результате самоопыления на растении АА, имеет генотип АА;

Р(В₂) = 1/2 – вероятность того, что зерно созрело на растении F₂ с генотипом Аа;

= 1/4 – вероятность того, что это зерно с растения Аа имеет генотип АА;

Р(В₃) = 1/4 – вероятность того, что зерно взято с растения F₂, несущего генотип аа;

= 0 – вероятность того, что случайно взятое зерно с такого растения имеет генотип АА.

В₁, В₂, В₃ – полная группа событий.

Аналогично, вероятности случайно взять из F₃ зерно Аа и аа:

Р(Аа) = 1/4∙0+1/2∙1/2+1/4∙0 = 0,25.

Р(аа) = 0,375.

При большом объёме случайной выборки зерен из F₃ три оцененные вероятности близки к долям трёх генотипов. Таким образом, в F₃ будет следующее соотношение долей генотипов:

АА	Аа	аа
0,375	0,25	0,375