Метод максимального корреляционного пути.

Этот метод позволяет выделить максимально тесные связи между объектами матрицы. Он работает с матрицами таксономических отношений, коэффициентов корреляции т.п., и представляет собой так называемую неиерархическую кластер-процедуру. В результате строится дендрит максимальных связей, который затем «разрезается» на кластеры или плеяды.

Рассмотрим пример. Дана матрица парных коэффициентов ранговой корреляции между 7 признаками у абрикоса (1-окраска побега, 2-размер листьев, 3-толщина побега, 4-длина черешка, 5-окраска кожицы плода, 6-окраска мякоти плода, 7-окраска косточки). Необходимо построить так называемый максимальный корреляционный путь между признаками.

	1	2	3	4	5	6	7
1		0,32	-0,41	0,19	0,74	0,02	0,13
2	0,32		0,91	0,18	0,11	0,28	0,01
3	-0,41	0,91		0,83	0,21	0,12	0,30
4	0,19	0,18	0,83		0,01	0,03	0,40
5	0,74	0,11	0,21	0,01		0,78	0,50
6	0,02	0,28	0,12	0,03	0,78		0,80
7	0,13	0,01	0,30	0,40	0,50	0,80

Сначала в данной матрице необходимо найти максимальное по модулю значение коэффициентов корреляции (0,91). Далее строят вспомогательную таблицу.

Первой во вспомогательной таблице выписывается строка, содержащая максимальное по модулю значение коэффициента корреляции (то есть, строка 2). Столбец, совпадающий с номером первой анализируемой строки в дальнейшем игнорируется (то есть, столбец 2). Каждый коэффициент маркируется двумя индексами: номер строки (внизу) и номер столбца (вверху), например ₂0,91³. Столбец, содержащий максимальный по модулю коэффициент в дальнейшем также игнорируется (то есть, столбец 3).

Номер следующей строки определяется номером столбца, содержащего максимальное по модулю значение коэффициента в предшествующей строке (то есть 3). При анализе очередной строки необходимо сравнить этот коэффициент корреляции с коэффициентом в предыдущей строке этого же столбца и выбрать больший по модулю.

Анализируем строку 3. Значение коэффициента в строке 3 для 1 столбца равно ₃-0,41¹, что больше по модулю, чем коэффициент в предыдущей строке 1-го столбца (₂0,32¹). Следовательно, выписываем значение ₃-0,41¹. Второй и третий столбцы игнорируются. Для 4 столбца строки 3 значение коэффициента корреляции равно ₃0,83⁴, а в предыдущей ₂0,18⁴, следовательно, выбираем ₃0,83⁴. Для 5 столбца значение коэффициента корреляции равно ₃0,21⁵, а в предыдущей ₂0,11⁵, следовательно, выписываем ₃0,21⁵. Для 6 столбца 3-ей строки значение коэффициента равно ₃0,12⁶, что меньше, чем во 2-ой строке 6-го столбца (₂0,28⁶). Значит, оставляем предыдущее значение ₂0,28⁶. Для 7 столбца 3-ей строки значение коэффициента корреляции равно ₃0,30⁷, что больше предыдущего ₂0,01⁷, следовательно, выписываем ₃0,30⁷. Переходим к сравнению коэффициентов 3-ей строки. Максимальным оказывается коэффициент ₃0,83⁴, находящийся в 4 столбце, следовательно, следующей будет 4-ая строка (4 столбец в дальнейшем игнорируется).

Анализируем строку 4. В столбце 1 коэффициент равен ₄0,19¹, что меньше по модулю предыдущего ₃-0,41¹, поэтому оставляем значение предыдущего коэффициента ₃-0,41¹. Второй, третий и уже четвертый столбцы игнорируем. В столбце 5 коэффициент равен ₄0,01⁵, что меньше предыдущего ₃0,21⁵, поэтому оставляем ₃0,21⁵. В столбце 6, коэффициент равен ₄0,03⁶, что меньше предыдущего ₂0,28⁶, поэтому оставляем ₃0,12⁶. В столбце 7 имеется коэффициент ₄0,40⁷, который больше ₃0,30⁷, поэтому выписываем ₄0,40⁷. В модифицированной строке 4 максимальным по модулю оказывается коэффициент ₃-0,41¹, следовательно, следующей анализируемой срокой будет строка 1 (столбец 1 в последующем игнорируется).

Анализируем строку 1. Столбцы 1-4 игнорируем. В столбце 5 находится коэффициент ₁0,74⁵, который больше предыдущего ₃0,21⁵, следовательно, выписываем ₁0,74⁵. В 6 и 7 столбцах коэффициенты равны соответственно ₁0,02⁶ и ₁0,13⁷. Они меньше предыдущих ₂0,28⁶ и ₄0,40⁷, поэтому эти два последних коэффициента остаются. Максимальным в строке 1 является коэффициент ₁0,74⁵, поэтому следующей будет 5-ая строка (столбец 5 далее игнорируется).

Анализируем строку 5. Столбцы 1-5 игнорируем. В столбце 6 имеется коэффициент ₅0,78⁶, который больше предыдущего ₂0,28⁶, следовательно, он выписывается. Столбец 7 также содержит коэффициент ₅0,50⁷ больший предыдущего ₄0,40⁷. Следующей анализируется строка 6 (так как коэффициент ₅0,78⁶ оказался максимальным), столбец 6 в дальнейшем игнорируется.

Анализируем строку 6. Столбцы 1-6 игнорируем. В столбце 7 имеется коэффициент ₆0,80⁷, больший ₅0,50⁷, поэтому он выписывается. На этом анализ исходной таблицы завершен.

	1	2	3	4	5	6	7
2	20,321		20,913	20,184	20,115	20,286	20,017
3	3-0,411			30,834	30,215	20,286	30,307
4	3-0,411				30,215	20,286	40,407
1					10,745	20,286	40,407
5						50,786	50,507
6							60,807

На основании полученных данных из последней таблицы можно построить так называемый дендрит или граф максимального корреляционного пути. Напомним, что подстрочные и надстрочные индексы максимальных коэффициентов каждой строки (выделены жирным шрифтом) являются номерами об4ъектов матрицы. Графическое изображение показано ниже:

Error: Reference source not found

После этого можно выделить плеяды сходных объектов. Разрезание максимального корреляционного пути для выделения плеяд проходит по наиболее слабому звену дендрита (связь между 3 и 1 признаками равная -0,41).

В результате выделены две тесно коррелирующих между собой плеяды признаков: плеяда 1 содержит три признака - 2,3,4; плеяда 2 содержит 4 признака - 1,5,6,7.

На следующем шаге рекомендуется определить средний коэффициент корреляции внутри каждой плеяды и сравнить его со средним коэффициентом корреляции между плеядами. Если внутрикластерный коэффициент корреляции достоверно превышает межкластерный, то кластеризация проведена правильно. Если наоборот, то выбранный уровень разрезания максимальных связей дендрита был занижен и его следует увеличить (например, до 0,74).

Вопросы:

1. Каковы особенности многолетних культур как объектов исследования?

2. Какие типы шкал используются для описания признаков и в чем их особенности?

3. Чем отличаются одномерные математические модели от многомерных?

4. Что называется рангом?

5. В каких случаях используют параметрические методы статистики, и в каких непараметрические?

6. Какие существуют типы статистических ошибок и как они связаны с понятием мощности критерия?

7. Какие имеются способы унификации признаков?

8. Какие непараметрические критерии используют при работе с номинальной и ранговой шкалами?