Ранговая шкала.
Наиболее мощным непараметрическим критерием для оценки различий между центральными параметрами (средними, медианами и т.п.) двух выборок является U-критерий Манна-Уитни.
Порядок вычисления этого критерия следующий:
Объединение двух групп наблюдений и ранжирование единой выборки. Но, в то же время, для каждого ранга необходимо помнить принадлежность к исходной группе.
Разделение единой выборки на две исходные группы, но уже в ранговой шкале.
Определение сумм рангов по каждой выборке.
Определение критерия для каждой группы по формулам
;
,
где n1 – объем первой выборки; n2 – объем второй выборки; ∑Ri(1) – сумма рангов первой выборки; ∑Ri(2) – сумма рангов второй выборки
Несложно показать, что U1=n1n2 – U2
Если найденные значения критерия (U1, U2) входят в интервал для пороговых значений UТ, то выборки не различаются по центральным параметрам.
Этот критерий можно использовать и для сравнения выборок, имеющих разный объем.
Пример. Необходимо сравнить две группы сеянцев вишни по устойчивости к коккомикозу. В таблице представлена сумма баллов поражения за 5 учетов в течение всей вегетации.
Группа 1 |
20 |
18 |
19 |
15 |
14 |
10 |
12 |
17 |
11 |
|
Группа 2 |
16 |
11 |
9 |
13 |
13 |
11 |
7 |
13 |
9 |
8 |
n1 = 9
n2 = 10
Объединяем обе группы наблюдений и ранжируем в возрастающем порядке:
Суммарный балл |
Ранг |
Группа |
Суммарный балл |
Ранг |
Группа |
7 |
1 |
2 |
13 |
11 |
2 |
8 |
2 |
2 |
13 |
11 |
2 |
9 |
3,5 |
2 |
14 |
13 |
1 |
9 |
3,5 |
2 |
15 |
14 |
1 |
10 |
5 |
1 |
16 |
15 |
2 |
11 |
7 |
2 |
17 |
16 |
1 |
11 |
7 |
2 |
18 |
17 |
1 |
11 |
7 |
1 |
19 |
18 |
1 |
12 |
9 |
1 |
20 |
19 |
1 |
13 |
11 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Сумма |
190 |
|
Разделяем группы и определяем суммы рангов (жирный шрифт):
Группа 1 |
5 |
7 |
9 |
13 |
14 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
118 |
Группа 2 |
1 |
2 |
3,5 |
3,5 |
7 |
7 |
11 |
11 |
11 |
15 |
72 |
U1= 9·10+9·(9+1)/2 - 118=135 - 118=17
U2= 9·10+10·(10+1)/2 - 72=145 – 72=73
Проверка U1=n1n2-U2=90-73=17
Находим интервал пороговых значений UТ.. Для этого воспользуемся табл. А. Для случая n1=9, n2=10 находим, что 20<UТ<70. Следовательно, требуемое для отклонения H0 значение U должно быть меньше или равно 20 и больше 70. Поскольку расчетные U1 и U2 равны соответственно 17 и 73 H0 отклоняется. Значит, эти две группы сеянцев значимо (с вероятностью 95%) различаются по степени поражения коккомикозом.