6.3. Унификация шкал признаков.

При проведении многомерного анализа, то есть многомерном моделировании, предполагается, что данные измерены в однотипных шкалах. Для преобразования исходных данных в единую шкалу используют приемы унификации данных. При этом признаки шкал более высокого порядка обычно выражают в шкале признака более низкого порядка. Например, производится сведение всех признаков, вовлекаемых в многомерный анализ, к двоичным переменным: введение вместо каждой исходной случайной переменной серии случайных величины, принимающих только два значения: 0 и 1. Очень часто признаки, измеренные в интервальной шкале, переводят в порядковую шкалу. Эту процедуру можно провести непосредственно заменяя числа на ихранги, или предварительно разбить вариационный ряд на классы и затем заменять числа на порядковые номера классов.

Иногда используются и обратные процедуры.

1. Оцифровка номинальных и порядковых переменных до уровня количественных признаков. В данном случае все переменные подтягиваются до уровня количественных путем приписывания их градациям числовых значений. Приписываемые значения иногда называют метками. Оцифровка качественных переменных является сложной и не очень надежной процедурой, как в вычислительном, так и статистическом плане.

2. Оцифровка номинальных шкал до уровня порядковых (перевод модальностей в ранги) также не всегда надежна и выполнима. Но в ряде случаев эта процедура имеет смысл, особенно для качественных признаков, модальности которых можно упорядочить по какому-либо правилу.

Пример. Качественный признак «форма листовой пластинки» сливы имеет 9 модальностей: широко овальная (1), овальная (2), узкоовальная (3), широко яйцевидная (4), овально яйцевидная (5), узко овально яйцевидная (6), широко обратнояйцевидная (7), овально обратнояйцевидная (8) и узко овально обратнояйцевидная (9).

Однако можно заметить, что форма листа объединяет два разных порядковых признака: 1) степень «сжатости листа» относительно центральной жилки: от широкоовальной до узкоовальной; 2) степень «яйцевидности или обратно-яйцевидности»: от обратнояйцевидной до яйцевидной.

По степени «сжатости» модальности 1,4 и 7 объединяют широкоовальные листья и имеют ранг 1; модальности 2,5 и 8 объединяют овальные листья и имеют ранг 2; модальности 3,6, и 9 объединяют узкоовальные листья и имеют ранг 3.

По степени «яйцевидности-обратнояйцевидности» модальности 4,5 и 6 объединяют яйцевидные листья и имеют ранг 1, модальности 1,2 и 3 объединяют листья без яйцевидности и без обратнояйцевидности и имеют ранг 2, модальности 7,8 и 9 объединяют обратнояйцевидные листья и имеют ранг 3.

Таким образом, номинальный признак «форма листовой пластинки» был выражен через два порядковых признака: степень сжатости и степень яйцевидности.

6.4. Параметрические и непараметрические методы статистики.

Все параметрические методы статистики работают с интервальной шкалой, в отличие от непараметрических методов, ориентированных прежде всего на первые две шкалы. Поясним отличия этих методов.

При рассмотрении большинства статистических методов предполагается, что наблюдения, о которых идет речь, выражены в интервальной шкале и являются реализациями случайной величины, распределение которой принадлежит некоторому параметрическому семейству распределений. Например, случайная величина имеет нормальное, или пуассоновское, или другое распределение. То есть, мы предполагаем, что известна форма распределения, например, мы можем предполагать нормальную N (μ, δ) модель, но с неизвестными параметрами μ и δ. Методы оценивания и проверки гипотез позволяют делать выводы о неизвестных параметрах, при этом ценность любых заключений до некоторой степени должна зависеть от адекватности исходного предположения о параметрическом семействе, то есть о форме распределения. Однако существуют случайные величины, которые не подчиняются одной из распространенных форм распределения. Следовательно, к ним нельзя применить те математические методы, которые разработаны для параметрических распределений. Поэтому для таких признаков разработаны специальные математические модели, которые получили название непараметрических или свободных от распределения.

Таким образом, можно выделить две группы методов статистики: параметрические и непараметрические.

Преимущество параметрических методов состоит в том, что для них существует хорошо разработанный математический аппарат. Однако применение этих методов, кроме прочего, предполагает большой объем выборки. Параметрические методы используют для количественных признаков.

Для анализа номинальных и ранговых переменных используются только непараметрические методы, которые не требуют предварительных предположений относительно вида исходного распределения. В этом их достоинство. Но есть и недостаток – снижение т.н. мощности (чувствительности к различиям объектов). Поясним это.

Напомним, что прежде чем приступить к анализу результатов эксперимента, исследователь выдвигает две взаимоисключающие гипотезы. Одна из них - статистическая гипотеза, которую исследователь обычно предполагает отклонить (т.н. нулевая гипотеза Н₀: например, изучаемые сорта не отличаются по урожайности). Альтернативная гипотеза (Н₁) фактически отрицает нулевую гипотезу. В альтернативной гипотезе обычно содержатся выдвигаемые исследователем предположения (есть отличия).

Выделяют два типа статистических ошибок анализа. Ошибка первого рода (ошибка α – типа): отклоняется нулевая гипотеза, которая в действительности верна. Ошибка второго рода (ошибка β – типа): принимаем нулевую гипотезу, которая в действительности ложная.

Мощностью или чувствительностью статистического критерия (метода) называется вероятность того, что в результате его применения будет принято правильное решение (Н₁) при действительно ложной нулевой гипотезе. Мощность критерия зависит от объема выборки, уровня значимости, направленности нулевой и альтернативной гипотез, надежности экспериментальных данных, приборов и от самого статистического метода. При равных условиях параметрические методы более мощные, чем непараметрические. Но мощность непараметрических методов возрастает с увеличением объема выборки.

Каждому типу шкалы соответствует своя статистическая техника. Для номинальных шкал часто используется критерий χ² (хи-квадрат). Для порядковых шкал – ранговые статистики. Для интервальных шкал – весь арсенал статистических критериев.