4.2. Нелинейное программирование.

Следующий шаг на пути приближения модели к реальности состоит в том, что производственные затраты не предполагаются пропорциональными x_i – объёму выпуска продукции, а зависят от него нелинейно, то есть целевая функция принимает, например, следующий вид:

,

где  – затраты на производство (нелинейная функция по х);

– затраты на транспортировку.

Оптимизационные задачи, в которых либо целевая функция, либо ограничения, либо и то и другое нелинейны, получили название задач нелинейного программирования. Для них, к сожалению, нет столь хорошо разработанных методов решения, как в линейном программировании. Поэтому точное решение удается отыскать далеко не всегда.

Для того чтобы понять, с чем это связано, прежде всего, выясним, на чём может отразиться нелинейность задачи. Если нелинейны ограничения, то область U (область допустимых планов) может оказаться невыпуклой (область называется выпуклой, если вместе с каждыми двумя точками области ей принадлежит и весь отрезок, их соединяющий (рисунки).

Выпуклая область (любой отрезок вместе с крайними точками целиком принадлежит области).

Невыпуклая область (отрезок АВ не принадлежит области).

В задачах линейного программирования такого явления быть не могло, так как многогранник ограничений всегда выпуклый с конечным числом «крайних» точек, в которых следует искать решение. А сохраняется ли в нелинейных задачах второе из этих свойств – конечность числа «крайних» точек? Оказывается, что тоже нет. На рисунке приведен пример невыпуклой области с бесчисленным множеством «крайних» точек (каждая точка дуги ASB «крайняя»).

Не меньше неприятностей доставляет и нелинейность целевой функции. Именно из-за нее функция может достигать экстремума max или min не в «крайней» точке области U, а где-нибудь внутри, может иметь несколько локальных (местных) экстремумов, например, в точках u=u₁ и u=u₂ (точка А называется точкой локального экстремума, если в ней значение функции больше, чем значение этой функции в достаточно малой окрестности точки А) (рисунок).

Невыпуклая область с бесчисленным множеством крайних точек – каждая точка дуги ASB крайняя.

Нелинейная целевая функция может иметь несколько экстрему­мов внутри области U. Здесь при u=u1 и u=u2 (обе точки внутренние) функция имеет локальные максимумы.

Методы решения основаны на том, что для любой точки х пространства U мы можем вычислить значение целевой функции z.

1. Наиболее простой метод – «накрывать» область U целой сетью «узловых» точек по всем переменным x и посредством перебора найти среди них сочетание x_i с оптимальным значением целевой функции. Однако при большом числе переменных (х) таких точек слишком много.

2. Градиентный метод. Он основан на пошаговом приближении к точке экстремума, двигаясь «шагами» по близким значениям х от меньших значений целевой функции к большим. Этот метод хорошо использовать, когда функция содержит одну вершину. Если же функция имеет более чем одну вершину (исследователь этого не может заранее знать), то дело обстоит намного хуже, так как на этот раз пошаговый поиск может прекратиться не в самой высокой, а в какой-нибудь «локальной» вершине. В этом случае приходится многократно начинать пошаговый поиск, отправляясь поочерёдно из разных точек области U.

Выйдя из какой-нибудь точки, движемся «по градиентам» до точки экстремума. Затем, выбрав, например, случайным образом следующую начальную точку х, от нее вновь ведем поиск экстремума и т. д. Чем больше точек допустимой области U испытано в качестве начальных, тем больше вероятность найти глобальный экстремум. Но гарантии найти его нет: наибольший из найденных экстремумов может быть лишь приближенно принят за значение максимума целевой функции. Приближенно, так как нет и не может быть гарантии, что при таком подходе не окажется пропущенной самая высокая вершина. Проблема в том, что мы «не видим» всей поверхности z, а можем лишь вычислить z для любой конкретной точки х. Просмотреть же все точки практически невозможно.

На рисунке показаны возможности, которые могут представиться при описанном методе поиска экстремума.

Случай, когда у целевой функции один экстремум.

Случай, когда целевая функция имеет несколько экстремумов.