Определение плана перевозок.

Пусть имеется m предприятий А₁, А₂, А₃, … А_m, производящих один и тот же продукт (одного качества) в количествах, равных соответственно а₁, а₂, а₃, … а_m. Есть и n потребителей этого продукта, находящихся в пунктах В₁, В₂, В₃,…В_n, причем потребности их известны и равны b₁, b₂, b₃,…b_n. Предполагается, что суммарный объем потребления равен суммарному объему выпуска продукта на всех предприятиях. Перевозка единицы продукта от i-го предприятия к j-му потребителю ведет к затратам, которые составляют c_ij. В этих условиях требуется определить наилучший план перевозок с min общих затрат.

Построим математическую модель этой ситуации. Через x_ij обозначим количество продукта, перевозимого с i-го предприятия к j-му потребителю. Выпишем ограничения, которым должны удовлетворять эти величины. Прежде всего, каждый потребитель должен получить ровно столько продукта, сколько ему требуется, то есть

j = 1, 2, … , n.

Так как производится столько же, сколько и потребляется, с каждого предприятия продукт должен вывозиться полностью, то есть

i = 1, 2, … , m.

Понятно также, что перевозимые количества продукта не могут быть отрицательными:

x_ij ≥ 0, i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n.

В качестве целевой функции, подлежащей минимизации, выступают суммарные затраты на перевозку, определяемые формулой

Окончательно приходим к следующей задаче.

Найти x_ij, которые обеспечат:

При условиях

j = 1, 2, … , n.

i = 1, 2, … , m

x_ij≥0; i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n.

Рассмотрим числовой пример. Пусть объёмы выпуска предприятий равны следующим величинам: а₁=145 т, а₂=125 т, а₃=220 т, а₄=135 т. Объемы потребления таковы: b₁=120 т, b₂=125 т, b₃=130, т b₄=110 т, b₅=140 т. Легко видеть, что задача сбалансирована – объём выпуска равен объёму потребления. Затраты c_ij (в руб.) на перевозку единицы продукции (1 тонны)от i–го предприятия к j–му потребителю представлены в таблице.

	b1(120)	b2(125)	b3(130)	b4(110)	b5(140)
а1(145)	18	24	23	27	32
а2(125)	19	20	14	16	26
а3(220)	21	20	17	15	28
а4(135)	15	21	22	19	22

Решение начнём с того, что попробуем подобрать хороший план перевозок, опираясь только на здравый смысл. Будем рассуждать так. Самую дешевую перевозку, по 14 руб. за 1 т продукта, можно осуществить от второго предприятия к третьему потребителю. Поэтому включим ее в план перевозок с наибольшей возможной интенсивностью, то есть планируем перевозку 125 т продукта от второго предприятия к третьему потребителю. Следующая минимальная по дороговизне перевозка может быть осуществлена от третьего предприятия к четвертому потребителю 110 т продукта. Рассуждая аналогично, придём к следующему плану перевозки, представленному в таблице.

	b1(120)	b2(125)	b3(130)	b4(110)	b5(140)
а1(145)		5			140
а2(125)			125
а3(220)		105	5	110
а4(135)	120	15

Легко видеть, что план этот допустим, так как он позволяет полностью удовлетворить потребности и обеспечивает вывоз продукта с предприятий. Суммарные затраты на его реализацию составляют: 5·24+140·32+124·14+105·20+5·17+110·15+120·15+15·21=12300 руб.

На практике, к сожалению, нередко наилучший план перевозок отыскивают именно таким способом. Почему «к сожалению», станет ясно из последующего, действительно оптимального плана, полученного методом линейного программирования.

На основании теории линейного программирования, реализованной в пакете стандартных программ для ЭВМ, получаем решение, представленное в таблице.

	b1(120)	b2(125)	b3(130)	b4(110)	b5(140)
а1(145)	120	20			5
а2(125)			125
а3(220)		105	5	110
а4(135)					135

Затраты, необходимые для реализации оптимального плана перевозок, составляют 120∙18 + 20∙24 + 5∙32 + 125∙14 + 105∙20 + 5∙17 + + 110∙15 + 135∙22 = 11355 руб. Теперь видно, что по сравнению с первоначальным, казавшимся «хорошим» планом, оптимальный план позволяет сократить затраты более чем на 7%. Причина в том, что в первом плане, начав с максимального использования самых дешёвых путей мы позже были вынуждены остальную продукцию перевозить по слишком дорогим маршрутам.