- •Введение
- •1. Модели и моделирование.
- •Классификация моделей.
- •Значение моделирования:
- •2. Модели динамики биологических систем.
- •2.1. Прогрессия размножения.
- •2.2. Моделирование численности взаимодействующих популяций.
- •2.3. Модель баланса вещества и энергии.
- •2.4. Биологический метод борьбы с нежелательным видом.
- •2.5 Модель эпидемии
- •2.6. Модели динамики возрастных групп
- •3. Вероятностные модели.
- •3.1. Сумма и произведение независимых событий.
- •3.2. Формула полной вероятности.
- •3.3. Теория мишени.
- •Ряд Пуассона.
- •Приложения в экологии.
- •Редкие болезни, редкие признаки.
- •4. Исследование операций на основе оптимизационных моделей.
- •4.1. Линейное программирование.
- •Выбор курса лечения.
- •Рациональный «раскрой».
- •Определение плана перевозок.
- •4.2. Нелинейное программирование.
- •4.3. Динамическое программирование.
- •Оптимизация пути.
- •Задача о распределении ресурсов.
- •Задача о загрузке машины.
- •4.4. Многокритериальные задачи.
- •4.5. Проблема оптимизации в условиях неопределенности.
- •Теория игр.
- •Конфликтные ситуации.
- •Игры с природой.
- •Заключение: об исследовании операций вообще и в условиях неопределенности в частности.
- •5. Имитационное моделирование.
- •5.1. Модели агробиоценоза.
- •5.2. Модель сои.
- •6. Применение непараметрических статистических моделей и методов на примере многолетних культур.
- •6.1. Особенности многолетних культур как объектов моделирования.
- •6.2 Шкалы измерений признаков.
- •6.3. Унификация шкал признаков.
- •6.4. Параметрические и непараметрические методы статистики.
- •6.5. Алгоритмы и примеры вычисления непараметрических критериев. Номинальная шкала.
- •Ранговая шкала.
- •Однофакторный анализ рангов по Уилкоксону, критерий множественных сравнений.
- •Ранговый коэффициент корреляции Спирмена.
- •Метод максимального корреляционного пути.
- •Литература
- •Содержание
Рациональный «раскрой».
На предприятии из листов металла размером 5х10 м требуется выкраивать заготовки типа А и В, имеющих размеры соответственно 4х1 м и 2х3 м. Известны потребности в этих заготовках – нужно выкроить не менее 1600 заготовок каждого типа. Необходимо предложить такой план раскроя, который позволит выполнить плановое задание с минимальными затратами материала (листов).
Каждый лист может быть раскроен по-разному. Например, из листа можно выкроить одну заготовку А, а оставшуюся часть листа отправить в отходы. Сразу ясно, что такой способ раскроя очень плох, так как в отходы идет материал, из которого еще можно выкраивать заготовки. Поэтому с самого начала сосредоточим внимание только на «разумных» способах раскроя, то есть на таких, где в отходы идет материал, из которого уже нельзя выкроить ни одной заготовки. На рисунке приведены такие способы раскроя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 способ раскроя: 2 способ раскроя:
12 заготовок типа А 0 заготовок типа А
0 заготовок типа В 8 заготовок типа В
■ – отходы ■ – отходы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 способ раскроя: 4 способ раскроя:
8 заготовок типа А 6 заготовок типа А
3 заготовки типа В 4 заготовки типа В
отходов нет ■ – отходы
Обозначим через хi (i = 1, 2, 3, 4) количество листов металла, которые раскраиваем i-м способом. Теперь понятно, что такое «план раскроя» – это набор чисел х1. х2, х3, х4, которые показывают, сколько листов раскраиваются каждым способом. Поскольку мы хотим выполнить план с минимальными затратами материала, целевая функция имеет вид:
min {x1 + x2 + x3 + x4}.
Если один лист раскраивается первым способом, то из него получается 12 заготовок типа А. Если же этот способ применен к х1 листам, то заготовок типа А получится 12х1. Рассуждая аналогично по отношению к другим способам раскроя, можно записать условие выполнения плана по заготовкам типа А:
12х1+0х2+8х3 + 6х4 ≥ 1600 и точно так же по заготовкам типа В:
0х1+8х2+3х3+4х4≥1600.
В каждом уравнении 4 слагаемых – по числу способов раскроя. Кроме того, понятно, что величины xi (i = 1, 2, 3, 4) не должны быть отрицательными, так как нельзя раскроить отрицательное число листов материала.
Окончательная формулировка задачи: найти хi (i = 1 … 4), который обеспечит минимум целевой функции
z = x1 + x2 + x3 + x4
при условиях:
12х1+0х2+8х3 + 6х4 ≥ 1600
0х1+8х2+3х3+4х4≥1600
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.
В результате пришли к задаче линейного программирования. С помощью стандартных приёмов получаем решение – оптимальный план раскроя, состоящий в следующем: 125 листов кроятся по второму способу раскроя (х2 = 125), а 200 листов – по третьему способу раскроя (х3 = 200), х1 = х4 = 0, то есть первый и четвертый способы вообще не используются. Получилось ровно по 1600 заготовок типа А и В. Конечно далеко не всегда удается получить раскрой почти без отхода или лишних заготовок, но линейное программирование гарантирует минимум затрат листов. «Вручную» такой план раскроя, особенно при более сложной задаче, получить невозможно.
Подобная формализация задачи пригодна не только для раскроя, но, например, для оптимального размещения заданного числа ящиков нескольких размеров в однотипных складских помещениях.