Редкие болезни, редкие признаки.

Многие болезни, к счастью, достаточно редки или становятся таковыми после принятия профилактических и лечебных мер. Однако даже при самых благоприятных условиях в больших популяциях все же встречается некоторое число больных редкими заболеваниями. Распределение Пуассона даёт вероятности таких событий в нормальной ситуации. Если в наблюдаемой популяции, например, в конкретном городе, больные встречаются чаще, чем это прогнозируется рядом Пуассона для всей страны, то это говорит о нарушении условий в данном городе, о необходимости выяснения причин, принять меры и т.д.

Например, при введении вакцины против полиомиелита иммунитет создаётся в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10000 вакцинированных детей заболеет 1?

Число «испытаний» n = 10000. Вероятность заболеть р = 0,0001. Поэтому m = np = 1, и по формуле Пуассона имеем Р(1) = е^–1 = 0,368.

Аналогично, вероятность, что заболеют 2 ребёнка , а вероятности заболевания 3, 4 и 5 детей соответственно равны ; ;  Вероятность того, что хотя бы один ребёнок заболеет равна 1 – Р(0) = 1 – е^–1 ≈ 0,632.

Если принять, что 10000 новорождённых – это годовая норма, скажем, крупного районного роддома, то примерно в 73% [Р(0)+Р(1)] таких домов полиомиелитом заболеет не более одного ребенка в год; в 18% – два ребёнка в год; в 6% – три и в 1,5% – четыре ребёнка в год. Если же в каком-то роддоме заболело более 5 детей – то это чрезвычайное происшествие. Вероятность такого события равна 0,001.

Аналогичные расчёты можно провести по детской смертности, врождённым аномалиям и признакам. Например, в среднем по стране 1 из 600 детей рождается с болезнью Дауна. Следовательно, в каждом микрорайоне, где проживает 3000 детей, в среднем будет m=np=3000× ×1/600 = 5 детей, страдающих такой болезнью. При этом вероятность рождения 10 детей с синдромом Дауна в микрорайоне равна

.

Таким образом, подобных микрорайонов должно быть приблизительно 2 из 100.

Вопросы:

1. Чем отличаются вероятностные модели от детерминистических? Пояснить на примерах.

2. Определить соотношение долей генотипов Аа и аа в F₃ после самоопыления популяции F₂ пшеницы, полученной из F₁ (AA x aa).

3. Приведите примеры генетических, микробиологических, экологических и медицинских экспериментов, при анализе которых может быть применена теория мишени.

4. Для каких целей в экологии можно использовать ряд Пуассона? Пояснить на примерах.

4. Исследование операций на основе оптимизационных моделей.

В наше время, которое по справедливости называют эпохой научно-технической революции, наука уделяет всё больше внимания вопросам организации и управления объектами, процессами. Это касается не только промышленности, но и биологии, медицины, сельского хозяйства, экологии и т. д. От науки требуются рекомендации по оптимальному (разумному) управлению процессами. Прошли времена, когда правильное, эффективное управление находилось организаторами «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого управления требуется научный подход – слишком велики потери, связанные с ошибками.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые удобно объединять под названием «исследование операций». Под этим термином будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Поясним, что понимается под «решением». Пусть планируется какое-то мероприятие, направленное к достижению определённой цели. У лица, организующего мероприятие, всегда имеется какая-то свобода выбора: можно организовать его тем или другим способом, например, выбрать образцы техники, которые будут применены, так или иначе распределить средства и т.д. «Решение» - это и есть какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.

Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования решений применяется та или другая модель и математический аппарат. Исследование операций – это своеобразное математическое «примеривание» будущих решений, позволяющее экономить время, силы и материальные средства, избегать серьёзных ошибок.

Впервые название «исследование операций» появилось в годы второй мировой войны, когда в вооруженных силах некоторых стран (США, Англия) были сформированы специальные группы научных работников (физиков, математиков, инженеров), в задачу которых входила подготовка проектов решений для командующих боевыми действиями. Эти решения касались, главным образом, боевого применения оружия и распределения сил и средств по различным объектам. В дальнейшем, исследование операций расширило область своих применений на самые разные области практики: промышленность, сельское хозяйство, строительство, торговля, здравоохранение, охрана природы и т. д.

Чтобы познакомиться со спецификой этого направления прикладной науки рассмотрим ряд типичных для неё задач.

Продажа сезонных товаров. Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать разумным образом: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Медицинское обследование. Известно, что в каком-то районе обнаружены случаи опасного заболевания. С целью выявления заболевших (или носителей инфекции) организуется медицинское обследование района. На это выделены ограниченные материальные средства, оборудование, медицинский персонал. Требуется разработать такой план обследования (число медпунктов, их размещение, последовательность осмотров специалистами, виды анализов и т.д.), который позволит выявить, по возможности, максимальный процент заболевших и носителей инфекции.

Оптимизация селекционно-генетических исследований. В распоряжении имеется коллекция образцов растений, несущих картированные гены различных признаков: по одному, два, три и более генов (возможно сцепленных) в одном образце. Требуется разработать оптимальную схему выбора части образцов и их скрещиваний, чередующихся с отборами по фенотипу. Цель – вывести новый образец с заранее заданным новым сочетанием генов.

Оптимизация деятельности хозяйства. Как лучше всего организовать деятельность крупного фермерского хозяйства – какие культуры и на каких площадях выращивать, в какой пропорции следует выделять средства для животноводства, птицеводства и т. д. С чего начинать исследование?

Прежде всего, нужно четко выделить факторы, которые существенно влияют на принимаемые решения. В последнем случае к ним относятся: количество земли, имеющейся в распоряжении хозяйства, ожидаемые урожайности культур, которые можно возделывать, возможности для создания животноводческой и птицеводческой продукции (помещения, корм и т. п.), а также ожидаемые потребности рынка в зерне, мясе, молоке, яйцах и многие, многие другие факторы.

Ясно, что, прежде всего, нужно выделить несколько главных факторов, возможно разбив общую деятельность на отдельные блоки. Это само по себе сложно сделать. Опыт и знания, накопленные ранее людьми, позволят выделить главные факторы, влияющие на результат. В этом могут также помочь специальные математические методы.

Допустим, что так или иначе мы выделим существенные факторы. Что делать дальше? Теперь следует описать, каким же образом сказывается влияние этих факторов. Например, расширение помещений для скота позволяет увеличить численность стада. Чем выше урожайность какой – либо культуры, тем больше дохода может быть получено от ее возделывания и т.п. Иными словами, дается качественная оценка факторов. Этого было достаточно для изучения задач с малым числом существенных факторов. В конце XX века положение резко изменилось. Современное высокоразвитое хозяйство требует и более точных экономических рекомендаций. Уже мало сказать, например, что изменение фактора А на 1% даст прирост дохода на 1000 руб., если остальные факторы останутся неизменными. А если они все изменятся, что будет тогда? Может быть, эффект будет еще больше?

Чтобы ответить на эти вопросы, и создаётся математическая модель, выражающая количественные соотношения между существен­ными факторами (параметрами) и, если снова вернуться к хозяйству, количественное выражение для оценки его деятельности – целевая функция (например, доход за год). Здесь и начинается, собственно, исследование операций.

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом, и направленное к достижению какой‑то цели (все мероприятия, рассмотренные выше, являются «операциями»). Исследование операций ведётся на модели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, то есть от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характери­зующие её организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических, финансовых и других средств, применяемых в операции.

Всякий определённый выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (относительно редко) в результате исследования удаётся указать одно – единственное строго оптимальное решение, гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных решений – рекомендаций. Окончательный выбор всегда делает человек.