Приложения в экологии.

В экологии ряд Пуассона используют, в частности, для того, чтобы выяснить, действительно ли организмы на обследуемом участке распределены случайно. Для этого участок разбивают на много одинаковых квадратов и подсчитывают число особей данного вида растений или животных в каждом квадрате. Если участок слишком велик, то выбирают наугад несколько квадратов и в каждом из них подсчитывают число особей. В любом случае числа квадратов, на которых обнаружено 0, 1, 2,…k особей, сравнивают (используя критерий χ²) с ожидаемыми при пуассоновском распределении, то есть в предположении, что организмы распределены совершенно случайно.

Критерием χ² можно пользоваться, если соблюдаются определённые условия: достаточно большой объём выборочной совокупности (например, общее число пересчитанных животных n>50); в каждой рассчитанной группе должно быть не менее пяти наблюдений (например, число квадратов с n животными должно быть не менее пяти); для вычис­ления χ² используют только численности, а не проценты или ве­личины, полученные при измерениях или взвешиваниях и т. д. Если наблю­да­емые и ожидаемые значения совпадают довольно хорошо (χ²_р < χ²_т), то можно сделать вывод, что распределение организмов по участку близко к случайному. В противном случае (χ²_р > χ²_т), есть две возможности:

1. Особи избегают друг друга или же препятствуют пребыванию поблизости от себя других особей. В таких ситуациях если, например, среднее число особей на квадрат равно трём, то квадратов с тремя особями будет слишком много по сравнению с ожидаемым числом. Квадратов же, в которых нет ни одной особи или, наоборот, много особей, будет слишком мало, так как они вынуждены разместиться более равномерно по участку.

2. Особи “скучиваются”, например, потому, что они привлекают друг друга, или потому, что в некоторых местах рассматриваемого участка условия более благоприятны для их существования, чем на других. В этом случае будет слишком много как пустых квадратов, так и квадратов с большим количеством особей.

Задача. На некотором достаточно однородном участке было расставлено 543 разных по конструкции ловушки для мелких млекопитающих. По прошествии некоторого времени в ловушках было обнаружено:

Число животных в ловушке	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число ловушек	468	41	16	11	2	4	0	1	0

Спрашивается – одинаковы ли по эффективности ловушки разных конструкций?

Схема решения.

Общее число животных:

n = 0∙468 + 1∙41 + 2∙16 + 3∙11 + 4∙2 + 5∙4 + 6∙0 + 7∙1 = 141,

m = n∙p = 141∙1/543 = 0,26.

Теперь, используя ряд Пуассона, можно определить ожидаемые доли ловушек с 0, 1, 2, и т. д. животными, в предположении, что все ловушки равно эффективны. После чего находим ожидаемое число ловушек с определенным количеством животных.

Поскольку число ловушек с 4, 5, 7, 8 животными меньше пяти, то их можно объединить в один класс.

Ожидаемая доля ловушек, в которых нет ни одного животного, равна e^–m = e^–0,26 = 0,77. Ожидаемое число ловушек, в которых нет ни одного животного 0,77·543 ≈ 418,1.

Аналогично определяют ожидаемые доли и число ловушек с 1, 2, 3-мя животными. Ожидаемую долю ловушек с числом животных от 4 до 8 можно определить по формуле 1 – Р(0) – Р(1) – Р(2) – Р(3) =

= 1 – 0,77 – 0,20 – 0,026 – 0,002 = 0,002.

Число животных в ловушке	0	1	2	3	от 4 до 8	∑
Ожидаемая доля ловушек	0,77	0,20	0,026	0,002	0,002	1
Ожидаемое число ловушек	418,1	108,6	14,1	1,1	1,1	543

χ²_р

Число степеней свободы df = 5 – 1 = 4.

Для Р = 0,05 χ²_т = 9,49

χ²_р > χ²_т. Следовательно, не все конструкции ловушек равноэффективны.

Итак, случайным (пуассоновским) является распределение объектов (клеток на предметном стекле; сорняков в поле и т.д.) аналогичное тому, которое получается в результате следующего модельного процесса:

1. Рассматриваемую площадь делят на большое число равновеликих квадратов;

2. Объекты помещают один за другим на случайно, независимо выбираемые квадраты. То есть, вероятность выбора данного квадрата совершенно одинакова и не зависит от того, содержит ли уже этот квадрат ноль, один или несколько объектов.