Ряд Пуассона.

Производится серия однотипных испытаний. Любое испытание успешно с вероятностью р и неуспешно с вероятностью q = 1 – p. Необходимо оценить вероятность сложного события А, состоящего в том, что из n испытаний k прошли успешно. Для этого, как известно, используют биноминальное распределение:

Р_n(k) = C_n^kp^kq^{n – k}, где ;

Пример. Соотношение полов 1:1. Определить вероятность того, что в семье с тремя детьми будут 2 девочки.

Решение.

n = 3, k = 2

; .

Рассмотрим видоизмененное биноминальное распределение, широко используемое в биологии. Итак, если вероятность данного события при однократном испытании равна р, то вероятности того, что оно произойдет 0, 1, 2, 3, и т. д. раз в ряду n последовательных испытаний, задаются соответствующими членами ряда:

Попадания 0 1 2 3 …

Вероятность:

Вынесем qⁿ за скобки

Предположим теперь, что р очень мало (q ≈ 1), а n достаточно велико, но так, что величина m = np не является пренебрежимо малой. Тогда можно считать, что n – 1 ≈ n – 2, … ≈ n и, используя замену

(1 – p)ⁿ ≈ e^–np, последнее выражение можно переписать в виде:

Заметим, что сумма, стоящая в скобках, равна e^np, а всё выражение равно единице (e^–np · e^np). Напомним, что соответствующие члены ряда представляют собой вероятности того, что в последовательности из n испытаний интересующее нас событие произойдёт 0, 1, 2, 3, … раз. Сумма всех вероятностей, естественно, должна быть равна единице.

Этот ряд, удобный для приблизительных экспресс-оценок, называют рядом Пуассона. Его используют во многих областях биологии. Он применим везде, где можно представить себе длинную последовательность независимых испытаний с малой вероятностью “успеха” в каждом испытании. Интуитивно ясно, что среднее число успехов m в последовательности n испытаний равно np. Поэтому, ряд Пуассона даёт вероятности данного числа успехов в последовательности n испытаний, причём в форме, удобной для вычислений.

Число успехов	0	1	2 …	r
Вероятность

Докажем, что среднее число успехов, как утверждается выше, равно m = np.

Математическое ожидание числа успехов равно:

При исследовании действия излучения моделирование в рамках теории мишени представляются вполне естественным. Однако этот же математический аппарат можно применять в задачах, в которых аналогия с мишенями и снарядами выражена менее явно. Предположим, например, что большая популяция из N бактерий смешана с популяцией из kN фаговых частиц. Какова будет доля незараженных бактерий, если допустить, что “нападение” фаговой частицы на любую бактерию равновероятно и все фаговые частицы проникают в бактерии? Может быть поставлена и обратная задача: сколько вирусных частиц k приходилось в среднем на одну бактерию, если доля бактерий, оставшихся незараженными равна F?

Если рассматривать бактерии как мишени, а фаговые частицы как снаряды, то вероятность того, что на данную бактерию нападет данная фаговая частица, равна 1/N. При большом числе N доли бактерий, зараженных 0, 1, 2,… фаговыми частицами, задаются членами ряда Пуассона при m = np = kN(1/N) = k:

.

В частности, вероятность того, что данная бактерия вообще избежит заражения, равна e^–k. При большом N – это доля незаражённых бактерий.

Аналогичная задача возникает при подсчёте клеток или других микрочастиц под микроскопом с помощью специальной сетки. Предположим, например, что капля крови, содержащая N эритроцитов, размазана по предметному стеклу, разделенному на 400 одинаковых квадратов. Если эритроциты распределены по стеклу случайно, вероятность того, что данный эритроцит попадет в определённый квадрат, равна 1/400, и, следовательно, ожидаемые числа квадратов с 0, 1, 2, … эритроцитами задаются членами ряда Пуассона.

В данном случае m=np=N/400. Ожидаемая доля пустых клеток равна e ^{– N / 400}; ожидаемое их число 400e ^{– N/400}.

Если, например, подсчитали, что в 61 из 400 квадратов нет ни одного эритроцита, то: 400e ^{– N/400} ≈ 61. Значит общее число эритроцитов в капле крови на всем стекле N ≈ 752.

Итак, если известно, что эритроциты распределены случайно, то таким способом можно быстро определить их примерное количество, подсчитав под микроскопом лишь число пустых квадратов сетки.

Часто задаются не вероятность р и число испытаний n, а сразу характерное значение параметра m = np, то есть среднее значение наступления события А во всей большой серии испытаний. Это значение m находят заранее при статистической обработке данных.

Пример. В травматологическое отделение в течение каждого часа дневного времени привозят примерно 3 пациентов. Какова вероятность того, что за один час их будет только 1 или ни одного?

В этом случае m = 3 и P(1) = me^–m = 3e^–3 = 0,15, а Р(0) = е^–m = = 0,05. Таким образом, вероятность того, что в течение часа потребуется по крайней мере 1 хирург, равна 1 – Р(0) = 0,95, а что таких хирургов нужно будет не менее 2, равна 1 – Р(0) – Р(1) = 0,8. Как видно, это отделение травматологии нельзя закрывать на обед.