39. Свойства системы векторов

1. Из определения линейной зависимости векторов следует, что любая система векторов либо линейно зависима, либо линейно независима.

2. Если часть данной системы векторов А1,...,Аn линейно зависима, то и вся данная система векторов линейно зависима.

Док-во: Пусть А1,..., Аl линейно зависимая часть системы векторов А1,...,Аn, где l< n. По определению найдется такой вектор K=(K1,...,Kl)≠Ө, что будет выполняться соотношение A1k1+...+Alkl=Ө  . Тогда соотношение вида A1k1+...+Alkl+Al+1kl+1+...+Ankn=Ө  будет выполняться при K=(K1,...,Kl,0,...,0)≠Ө. Следовательно по определению вся система векторов А1,...,Аn является линейно зависимой.

3. Если данная система векторов линейно независима, то и любя ее часть линейно независима.

Док-во: От противного. Пусть часть А1,...,Аk данной системы векторов А1,...,Аn является линейно зависимой. Тогда из свойства 2 следует, что вся данная система векторов линейно зависима. Это противоречит условию, следовательно, предположение неверно, а верно то,что любая часть линейно независимой системы векторов является также линейно независимой.

4. Если система векторов А1,...,Аn,В является линейно зависимой, а ее часть А1,...,Аn — линейно независима,то вектор В линейно выражается через векторы А1,...,Аn

Док-во: Система векторов А1,...,Аn,В является линейно зависимой. Тогда по определению найдется такой вектор K=(K1,...,Kn. kn+1)≠Ө, что выполняется соотношение A1k1+...+Ankn+Bkn+1=Ө. Покажем,что kn+1≠Ө. Если бы kn+1=0, то Bkn+1= Ө. Тогда A1k1+...+Ankn=Ө, а так как система векторов А1,...,Аn по условию линейно независима,то k1=...=kn=0, а,следовательно, вектор k=Ө, что противоречит, тому, что K=(K1,...,Kn. kn+1)≠Ө. Т.о., kn+1≠Ө. Тогда можно записать В=A1(-k1/kn+1)+...+An(-kn/kn+1)

40. Единственность разложения вектора системы векторов по базису этой системы.

Базисом данной системы векторов A₁, …, A_n называется такая ее часть B₁, …, B_r, в которой каждый из векторов есть один из векторов данной системы и которая удовлетворяет следующим условиям: 1. B₁, …, B_r является ЛНЗ системой векторов. 2. каждый вектор A_j данной системы векторов линейно выражается через вектора B₁, …, B_r, т. е. A_j = B₁k_1j + … + B_rk_rj

Теорема. Коэффициенты k1j,...,krj в разложении (1)( Aj=B1k1j+...+Brkrj ) вектора Aj по векторам базиса определены однозначно.

Предположим, что существуют еще одно разложение вектора Аj по векторам базиса , а именно, Aj=B1k1j+...+Brkrj(2). Вычтя соотношение(2) из соотношения(1), получим Ө =B1(k1j-k1j)+...+Br(krj-krj). Так как векторы B1,...,Br линейно независимы,то из последнего соотношения следует, что k1j-k1j=0,...,krj-krj=0. Это равносильно тому, что k1j=k1j,...,krj=krj,т.е. Разложение по векторам базиса единственно.

41. Максимально линейно независимая часть системы векторов и базис этой системы

Определение. Линейно независимая часть B1,....,Bm данной системы векторов A1,...,An называется максимально линейно независимой частью,если после добавления к этой части любого вектора данной системы, не входящего в B1,...,Bm получается линейно зависимая часть данной системы векторов.

Теорема. Любая линейно независимая часть C1,...,Ck данной системы векторов A1,...,An может быть дополнена до базиса этой системы.

Если C1,...,Ck не является максимально линейно независимой частью системы векторов A1,...,An, то найдется такой вектор Ck+1 ∈ (A1,...,An)\(C1,...,Ck), что система векторов C1,..,Ck,Ck+1 будет линейно независимой частью системы A1,...,An.

Если и система C1,...,Ck,Ck+1 не является максимально линейно независимой частью системы A1,...,An, то найдется такой вектор Ck+2 ∈ (A1,...,An)\(C1,...,Ck,Ck+1), что система векторов C1,...,Ck,Ck+1,Ck+2 будет линейно независимой частью системы A1,...,An и т. д.

Через l таких шагов получим максимально линейно независимую часть C1,...,Ck+l системы векторов A1,..,An. При чем полученная система C1,..,Ck+l удовлетворяет условиям определения базиса,т.к. Она линейно независима. К тому же, если Aj ∉ (C1,...,Ck+l), то из определения максимально линейной независимости следует, что система векторов C1,...,Ck+l,Aj линейно зависима. Тогда по 4-му свойству найдется такой вектор k≠ Ө  , что будет выполняться соотношение C1k1+...+Ck+l kk+l=Aj, т. е. Любой вектор системы A1,...,An линейно выражается через вектора C1,..,Ck+l. Следовательно вектора Cj,...,Ck+l образуют базис системы A1,...,An.

Следствие. Если система векторов содержит хотя бы один ненулевой вектор, то эта система имеет базис.

Пусть A1≠ Ө  , тогда часть данной системы A1,...,An, состоящая из одного вектора A1, будет линейно независима. По доказанной теореме эту линейно независимую часть можно дополнить до базиса данной системы.

Замечания

1. Система векторов может иметь несколько различных базисов.

2. Любая максимально линейно независимая часть системы векторов является базисом этой системы.