57 Конечность симплекс метода при решении кзлп на минимум

Решая КЗЛП на минимум, мы выполняем ряд шагов. При этом на каждом шаге осуществляется либо переход от базиса исходного опорного решения к базису нового опорного решения, на котором значение целевой функции меньше, чем на исходном опорном решении, либо переход к очередному базису исходного опорного решения, если это опорное решения является вырожденным.

Так как опорных решений у КЗЛП конечное число, то через конечное число шагов задача будет решена, т.е. либо будет найдено оптимальное решение, либо будет установлена неограниченность целевой функции на множестве допустимых решений этой задачи.

Если задача имеет вырожденное опорное решение, то, переходя от одного его базиса к другому, можно вернуться к базису, который уже встречался ранее, и продолжать движение по уже пройденной последовательности базисов этого опорного решения. Такую ситуацию называют «зацикливанием» алгоритма симплекс метода.

Чтобы избежать зацикливания, необходимо при переходе от одного базиса к другому ввести дополнительные условия. Рассмотрим симплекс таблицу, приведенную к базису В1,…Вι(эль),…,Bk,…, Br опорного решения α.

…	B1	…	Bl	…	Bk	…	Br	…	As	…	B
…	1	…	0	…	0	…	0	…	a’1s	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	1	…	0	…	0	…	a’ls	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	1	…	0	…	a’ks	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	0	…	1	…	a’rs	…
…	0	…	0	…	0	…	0	…		…

Среди положительных оценок в симплекс таблице выбираем оценку δs с наим номером. Затем среди отношений вида (α i/α’ is) для всех α’ is>0 выбираем наименьшее. Если указанное отношение не является единственным, то выбираем то, которое имеет наименьший номер i. Применяя через конечное число шагов задача будет решена.

58 Условие разрешимости кзлп на минимум

Теорема (о разрешимости ЗЛП на минимум): если КЗЛП на минимум имеет допустимое решение, а целевая функция на множестве допустимых решений ограничена снизу, то эта задача имеет оптимальное решение

1. f(X) = ∑

2. 

3. X_j ≥0, j=1,2,…,n

Доказательство: в теореме о существовании опорного решения было доказано, что если КЗЛП имеет допустимое решение, то эта задача имеет и опорное решение. Принимаем это опорное решение за начальное опорное решение и решаем задачу симплекс методом. Так как целевая функция ограничена снизу на множестве допустимых решений, то через конечное число шагов симплекс метода будет найдено оптимальное решение данной задачи.

((((Теорема о существовании опорного решения: Если каноническая задача ЛП имеет хотя бы одно допустимое решение, то эта задача имеет и опорное решение .

6. F(X)= 𝛾j x_j + 𝛾₀

7. A_j X_j=B

8. X_j≥0, j=1,2,…n,

Которая имеет хотя бы одно допустимое решение. Из всех допустимых решений данной задачи выберем допустимое решение с наим числом ненулевых координат. Пусть таким решением будет вектор α=(α1,…, αι (эль), 0,…,0), где координаты α1>0, …, αι (эль)>0 (координаты всегда можно пронумеровать так, что первыми из них станут ненулевые) и докажем, что выбранный вектор является опорным решением задачи (1)-(3).

Предположим противное, а именно, что вектор α не является опорным решением. Тогда по определению опорного решения, векторы А1, А2, …Аι(эль), соответствующие ненулевым координатам выбранного вектора α, образуют линейно зависимую систему. Из определения линейно зависимой системы векторов следует, что найдется ненулевой набор чисел k1, k2, …kι(эль) такой, что будет выполняться соотношение

9. A1k1+a2k2+…+Aιkι (эль)=θ

Так как вектор α является допустимым решением рассматриваемой задачи, по определению, этот вектор является решением системы линейных уравнений (2). Тогда по определению решения системы уравнений должно выполняться соотношение

10. A1α1+A2 α2+…+Aιαι(эль)=В

Прибавив к соотношению (5) соотношение (4), умноженное на ±δ, получим

A1(α1±δk1)+A2(α2±δk2)+…+Aι(αι±δkι)(эль) =B

Из последнего соотношения по определению решения системы уравнений следует, что векторы α’=(α1+δk1, α2+δk2,…, αι+δkι,0,…,0) и α’’=(α1-δk1, α2-δk2,…, αι-δkι,0,…,0) являются решениями СЛУ (2). Если же число δ выбрать так, что оно удовлетворяет арифметической лемме???, то координаты векторов α’ и α’’ будут удовлетворять условию (3), а сами векторы будут являться допустимыми решениями задачи (1)-(3) и при этом, хотя бы у одного из этих векторов число ненулевых координат будет меньше, чем ι(эль). Это противоречит выбору допустимого вектора α. Следовательно, вектор α является опорным решением задачи (1)-(3).)))))