44. Существование опорного решения кзлп

Вектор α называется допустимым решением задачи линейного программирования (1)-(4), если он является решением ограничений (2)-(3) и удовлетворяет условию (4).

Допустимое решение α КЗЛП (1)-(3) называется опорным решением, если векторы условий, соответствующие ненулевым координатам вектора α, образуют ЛНЗ систему векторов.

Теорема: Если каноническая задача ЛП имеет хотя бы одно допустимое решение, то эта задача имеет и опорное решение .

Рассмотрим КЗЛП

1. F(X)= 𝛾j x_j + 𝛾₀

2. A_j X_j=B

3. X_j≥0, j=1,2,…n,

Которая имеет хотя бы одно допустимое решение. Из всех допустимых решений данной задачи выберем допустимое решение с наим числом ненулевых координат. Пусть таким решением будет вектор α=(α1,…, αι (эль), 0,…,0), где координаты α1>0, …, αι (эль)>0 (координаты всегда можно пронумеровать так, что первыми из них станут ненулевые) и докажем, что выбранный вектор является опорным решением задачи (1)-(3).

Предположим противное, а именно, что вектор α не является опорным решением. Тогда по определению опорного решения, векторы А1, А2, …Аι(эль), соответствующие ненулевым координатам выбранного вектора α, образуют линейно зависимую систему. Из определения линейно зависимой системы векторов следует, что найдется ненулевой набор чисел k1, k2, …kι(эль) такой, что будет выполняться соотношение

4. A1k1+a2k2+…+Aιkι (эль)=θ

Так как вектор α является допустимым решением рассматриваемой задачи, по определению, этот вектор является решением системы линейных уравнений (2). Тогда по определению решения системы уравнений должно выполняться соотношение

5. A1α1+A2 α2+…+Aιαι(эль)=В

Прибавив к соотношению (5) соотношение (4), умноженное на ±δ, получим

A1(α1±δk1)+A2(α2±δk2)+…+Aι(αι±δkι)(эль) =B

Из последнего соотношения по определению решения системы уравнений следует, что векторы α’=(α1+δk1, α2+δk2,…, αι+δkι,0,…,0) и α’’=(α1-δk1, α2-δk2,…, αι-δkι,0,…,0) являются решениями СЛУ (2). Если же число δ выбрать так, что оно удовлетворяет арифметической лемме, то координаты векторов α’ и α’’ будут удовлетворять условию (3), а сами векторы будут являться допустимыми решениями задачи (1)-(3) и при этом, хотя бы у одного из этих векторов число ненулевых координат будет меньше, чем ι(эль). Это противоречит выбору допустимого вектора α. Следовательно, вектор α является опорным решением задачи (1)-(3).

45. Существование базиса опорного решения кзлп

Среди базисов системы векторов А₁,…,А₂,….,А_n условий канонической задачи линейного программирования (1) f(X) = ∑ϒ_jX_j + ϒ₀ (2) ∑ A_j X_j = B (3) X_j ≥0 j=1,2,…,n имеются базисы, соответствующие опорным решениям данной задачи. Определение. Базис A_i1, A_i2,….,A_il системы векторов A₁,….A_j,…,A_n условий задачи (1)-(3) называется базисом опорного решения α=(α₁,….α_j,….,α_n) , если α_i=0 для любых i ≠i₁, i₂,.., i_n . Таким образом, базис A_i1, A_i2,….,A_in системы векторов A₁,….A_j,…,A_n условий задачи (1)-(3) называется базисом опорного решения α=(α₁,….α_j,….,α_n) , если небазисным вектором из системы векторов условий задачи (1)-(3) соответствует нулевые координаты опорного решения. Замечание. Так как векторы условий, соответствующие ненулевым координатам опорного решения α=(α₁,….α_j,….,α_n), входят в каждый его базис, то это опорное решение может иметь не один базис. Свойство 1 Любому опорному решению канонической задачи линейного программирования соответствует, по крайней мере, один базис системы векторов условий этой задачи. Док-во:

Пусть вектор α=(0,…,0, α_i1 , 0,…, 0, α_i2 , 0,…., 0, α_il , 0,…, 0) является опорным решением канонической задачи линейного программирования

f(X) = ∑ϒ_jX_j + ϒ₀ (2) ∑ A_j X_j = B (3) X_j ≥0 j=1,2,…,n где α_i1>0 , α_i2>0 , …., α_il>0 . Тогда по определению системе векторов условий задачи (1)-(3) векторы A_i1, A_i2,….,A_il , соответствующие ненулевым координатам данного опорного решения, образуют линейно независимую систему векторов, которую можно дополнить до базиса всей системы векторов условий данной задачи. Пусть этим базисом будет система из векторов A_i1, A_i2,….,A_{il ,} A_il+1 , …., A_ir . Тогда небазисным векторам из системы векторов условий задачи (1)-(3) соответствуют нулевые координаты опорного решения и по определению векторы A_i1, A_i2,….,A_il образуют базис опорного решения α .