56. Решение канонической задачи линейного программирования на минимум симплекс методом, критерии выбора вектора вводимого в базис и выводимого из базиса

Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования.

(9) f(X)= +

(10) =B

(11) , j=1,2,…,n.

Пусть вектор α опорное решение данной задачи. Выберем некоторый базис этого опорного решения, например, В₁,…,B_l,…,B_k,…,B_r, т.е. опорное решение имеет вид α=(0,…,0,α₁,0,…,0,α_l,0,…,0,α_k,0,…,0,α_r,0,0,…,0).

Приведя систему векторов условий к базису выбранного опорного решения, получим симплекс таблицу (4)

…	B1	…	Bl	…	Bk	…	Br	…	As	…	B
…	1	…	0	…	0	…	0	…	a’1s	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	1	…	0	…	0	…	a’ls	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	1	…	0	…	a’ks	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
…	0	…	0	…	0	…	1	…	a’rs	…
…	0	…	0	…	0	…	0	…		…

1. Если любой вектор системы условий задачи в полученной симплекс таблице имеет неположительную оценку т.е. для всех j=1,2,…,n то опорное решение α является оптимальным решением данной задачи ( теорема о достаточном условии оптимальности опорного решения).

2. Если в симплекс таблице существует s-й столбец с положительной оценкой , где s=1,2,…,n а все остальные элементы s-го столбца неположительные то целевая функция данной задачи неограниченна на множестве допустимых решений и следовательно задача не имеет оптимального решения (теорема о неограниченности целевой функции)

3. Если оценка s-го столбца положительная, но при этом среди элементов этого столбца найдется положительный т.е. a_is 0, i=1,2,…,r. То рассматриваются соотношения вида для всех a’_is 0 , среди которых выбирается наименьшее. Пусть это будет отношение = . Затем проводится преобразование Жордана симплекс таблицы (4) с разрешающим элементом . После такого преобразования будет получена новая симплекс таблица приведенная к базису отличному от предыдущего так как вектор B_k уступил место вектору A_s. Эта симплекс таблица обладает свойствами : 1)она приведена к базису B₁,…,B_l,…,B_k-1,B_k+1,…,B_r,…,A_s. 2)Все элементы столбца ограничений неотрицательные.