28. Механические методы выявления основной тенденции развития, их характеристика.

Одним из методов анализа и обобщения динамических рядов является выявление его основной тенденции развития или сокращенно тренда. Трендом называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту временного ряда, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно. В экономике к таким факторам можно отнести:

• технологическое и экономическое развитие;

• рост потребления и изменение его структуры;

• изменение демографических характеристик популяции, включая рост (уменьшение) населения, изменение структуры возрастного состава, изменение географического расселения и т. д.

Действие этих и им подобных факторов происходит постепенно, поэтому их вклад необходимо описывать с помощью гладких кривых, просто задающихся в аналитическом виде.

Для построения кривой роста необходимо выбрать вид аналитической зависимости и затем оценить значения ее параметров. Для определения вида тенденции (аналитической зависимости) применяются такие методы, как качественный анализ изучаемого процесса; построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени; расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютные приросты, темпы роста и др.); анализавтокорреляционной функции исходного и преобразованного временного ряда; метод перебора, при котором строятся кривые роста различного вида, с последующим выбором наилучшей на основании значения скорректированного коэффициента детерминации R²

Выравниванием рядов динамики пользуются для того, чтобы найти значение недостающего члена ряда. Такой способ называется интерполяцией.

Экстраполяцией рядов динамики  называют прием, который заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые, можно предсказать дальнейшее развитие событий. Прогнозирование базируется на знании развития прогнозируемого явления, а также факторов, влияющих на это явление и того, каким образом эти факторы могут изменить развитие явления.

Исследование динамики социально-экономических явлений и выявление их основных закономерностей в прошлом дают основания для экстраполяции — определения будущих размеров уровня экономического явления.Экстраполяция, проводимая в будущее — это перспектива, а в прошлое — ретроспектива.

Предпосылки применения экстраполяции:

• развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

• общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

Чаще всего экстраполяцию связывают с аналитическим выравниванием тренда. При этом, для выхода за  границы периода, для которого найдена зависимость от времени, достаточно продолжить значения независимой переменной во времени.

Наиболее сложным методом прогнозирования является прогнозирование на основе взаимосвязанных рядов динамики. С его помощью можно получить не только оценки результативного, но и факторных признаков, т. е. анализ взаимосвязанных рядов динамики выражается с помощью системы уравнений регрессии. Прогноз в этом случае лучше поддается содержательной интерпретации, чем простая экстраполяция.

В статистической практике выявление основной тенденции развития производится следующими методами: методом укрупнения интервалов (периодов) динамических рядов, методом скользящей средней, методоманалитического выравнивания (по математическому уравнению) и выравниванием по среднему абсолютному приросту (среднему коэффициенту роста).

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени. Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе, так называемой, адекватной математической модели, которая наилучшим образомаппроксимирует (отображает) основную тенденцию развития ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления во времени, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

После выяснения характера кривой развития необходимо определить ее параметры, что можно сделать различными методами:

• решением системы уравнений по известным уровням ряда динамики;

• методом средних значений (линейных отклонений), который заключается в следующем: ряд расчленяется на две, примерно, равные части и вводятся преобразования, чтобы сумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, например, в случае выравнивания по прямой;

• методом наименьших квадратов — это некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты, характеризующей тренд или ряд изучаемого явления;

• выравниванием ряда динамики с помощью метода конечных разностей.

Метод конечных разностей  позволяет подобрать подходящую форму кривой при выборе вида функциитренда. Его применение возможно в том случае, если временной ряд содержит равноотстоящие друг от друга уровни.

Разностным оператором 1-го порядка (конечной разностью первого порядка) называется разность между соседними уровнямивременного ряда:  Δ¹_t = Y_t — Y_t-1

Разностным оператором 2-го порядка (конечной разностью второго порядка) называется разность между соседними разностными операторами 1-го порядка:

Δ²_t = Δ¹_t — Δ¹_t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δ^j_t = Δ^j-1_t — Δ^j-1_t-1

Если разностные операторы 1-го порядка постоянны и равны между собой

Δ¹₂ = Δ¹₃ = … = Δ¹_n

а разностные операторы 2-го порядка равны нулю

Δ²₃ = Δ²₄ = … = Δ²_n=0

то общую тенденцию развития (тренд) изучаемого временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией y=a+β*t+ε   

Если разностные операторы 2-го порядка постоянны и равны между собой

Δ²₃ = Δ²₄ = … = Δ²_n

а разностные операторы 3-го порядка равны нулю

Δ³₄ = Δ³₅ = … = Δ³_n =0

то общую тенденцию развития (тренд) изучаемого временного ряда можно аппроксимироватьпараболической функцией 2-го порядка вида y=a+β₁*t+β₂*t²

Следовательно, порядок разностных операторов, являющихся постоянными для данного временного ряда, определяет степень уравнения тренда:  y=∑β_j*t_j

Оценки неизвестных коэффициентов уравнения тренда рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.

Если тренд временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией, то её коэффициенты можно рассчитать с помощью метода моментов. При этом в модель вводится новая переменная времени, началом координат которой является середина временного ряда (t=0). Таким образом, её сумма по всем элементам равняется нулю.

Для временного ряда, количество уровней которого является нечётным:   

t = -4 -3 -2 -1  0 +1 +2 +3 +4

Для временного ряда, количество уровней которого является чётным:       

t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

Логический анализ при выборе вида уравнения может быть основан на рассчитанных показателях динамики, а именно:

• если относительно стабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживание может быть выполнено по прямой;

• если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительно равны), можно принять параболу второго порядка;

• при ускоренно возрастающих или замедляющихся абсолютных приростах — параболу третьего порядка;

• при относительно стабильных темпах роста — показательную функцию.

 Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду, основанный на сравнении средних уровней ряда

Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно определить с помощью графика. Поэтому для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда. Критерий основан на сравнении средних уровней временного ряда из N наблюдений, который делится на две равные части. Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные выборочные совокупности, подчиняющиеся нормальному закону распределения. 

Для каждой выборки  рассчитываются следующие выборочные характеристики:

средние арифметические значения (средний уровень ряда)

  

выборочные дисперсии

  

При проверке предположения о наличии во временном ряду трендовой компоненты, выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μ_i=μ_j. Альтернативной  является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей: H₀:μ_i≠μ_j. Основная гипотеза H₀ проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий. Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора при заданном уровне значимости α и числу степеней свободы k₁=n–1 и k₂=N–n–2.

Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида Ho: G_i²=G_j² определяется по формуле при условии:

  

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия F_набл>F_крит, то основная гипотеза отклоняется, если F_набл≤F_крит, то основная гипотеза принимается.

Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение t-критерия t_крит (α, N–2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где α – уровень значимости, (N–2) – число степеней свободы.

Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида H₀:μ_i=μ_j определяется по формуле:

  

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения  t_набл>t_крит , то основная гипотеза отвергается-генеральные средние двух выборок не равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента, если t_набл≤t_крит, то основная гипотеза принимается-генеральные средние двух выборок равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.