23. Ознака Даламбера збіжності ряду.

Якщо в ряді з додатніми членами a₁+a₂+a₃+…+a_n+…(1) відношення (n+1)-го члена до n–го при n→∞ має скінченну границю ℓ, тобто lim =ℓ(2), то якщо:

1. ℓ<1 ряд збігається

2. ℓ>1 ряд розбігається

3. ℓ=1 відповіді на питання про збіжність ряду теорема не дає

1) ℓ<1, покажемо, що ряд є збіжним. Розглянемо число q, що задовольняє умову, тобто ℓ< q<1. Із означення границі і співвідношення(2) випливає, що для всіх n починаючи з деякого номера N, тобто при n≥N буде мати місце нерівність: < q(2’). Дійсно, так як величина →ℓ, то різниця між величиною і ℓ може бути зроблена(за абсолютною величиною) менше любого додатного числа, починаючи з деякого номера ℓ, зокрема менше q-ℓ. Тобто < q-ℓ. Із останньої нерівності випливає нерівність (2’). Запишемо нерівність (2’) для деякого значення n починаючи з номера N, матимемо:

Знайдемо суму лівої і правої частини нерівності: + + +…+a_N+k+…+a_N(q+q²+…+q^k+…). Так як 0<q<1, то ряд a_N(q+q²+…+q^k+…) є збіжним. Тоді ряд + + +…+a_N+k+…(3) також є збіжним за ознакою порівняння. Але ряд (3) одержаний із ряду (1) відкиданням скінченого числа членів, а отже, і ряд (1) є збіжним.

2) Нехай ℓ>1, покажемо, що ряд є розбіжним. Із рівності =ℓ, випливає, що починаючи з деякого номера N, що n≥N, будемо мати нерівність: >1, звідси випливає, що > для любого n≥N. А це означає, що члени ряду зростають починаючи з N+1, а тому загальний член ряду не прямує до 0, отже, ряд є розбіжним.

24. Радикальна ознака Коші.Приклади.

Теорема: Якщо для ряду з додатними членами величина має скінченну границю при n→∞, тобто lim_n→∞ =ℓ, то якщо ℓ<1 ряд збігається, якщо ℓ>1 ряд розбігається і якщо ℓ=1, то питання про збіжність ряду залишається відкритим. Доведення. Нехай ℓ<1, покажемо що ряд є розбіжним. Розглянемо число q, таке що ℓ< q <1. Тоді матиме місце нерівність, яка справедлива для деякого номера починаючи з n=N, тобто: або a_n<qⁿ для деякого n≥N. Запишемо два ряди:

a₁+a₂+a₃+…+a_N+_N+1a_N+3+…(1) та q+q²+q³+…+q^N+q^N+1+…(1’). Ряд (1’) є збіжним, так як члени ряду є складною геометричною прогресією, а члени ряду (1), починаючи з a_N менше членів ряду (1’). Отже, ряд (1) збігається(за ознакою порівняння). Нехай ℓ>1, покажемо, що даний ряд є розбіжним. Дійсно починаючи з деякого номера n=N, будемо мати , тобто lim_n→∞a_n≠0. Необхідна умова збіжності ряду не виконується, отже ряд є розбіжний.

25.Інтегральна ознака Коши..Нехай члени ряду a₁+a₂+a₃+…+a_n+…(1)додатні і не зростають, тобто a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n≥…(1’) і нехай f(x) така неперервна не зростаюча функція, що f(1)=a₁, f(2)=a₂, f(3)=a₃,…, f(n)=a_n,…(2). Тоді даний ряд і невласний інтеграл одночасно збігається або розбігається. Доведення. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі Ox номери 1,2,3,…,n+1,…членів ряду, а на осі Oy відповідні значення членів ряду a₁,a₂,a₃,…,a_n+1,…

Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної, не зростаючої функції y=f(x),що задовольняє умову(2). Замітимо, що перший із побудованих прямокутників має основу, що дорівнює 1 і висоту f(1)=a₁. Другий прямокутник основу – 1, висоту f(2)=a₂ і т.д.n-ий – основу – 1, а висоту f(n)=a_n. Сума площ побудованих прямокутників дорівнює S_n і дорівнює сумі перших n–членів ряду, тобто S_n= a₁+a₂+…+a_n. З іншої сторонни ступінчата фігура, що складається з прямокутників містить в собі площу обмежену лініями: y=f(x),y=0,x=1,x=n+1. Площа цієї області визначається за формулою: . Отже, . Якщо невласний інтеграл є розбіжним, то він дорівнює 1 і якщо є необмеженим і зростає з необмеженим зростанням n. Тоді і послідовність частинних сум необмежено зростає, тобто , отже, ряд є розбіжним.

26. Знакочергуючим ряди. Теорема Лейбніца

Ряди, члени яких мають особливість знакочергуватися, тобто ряди виду: а1-а2+а3-а4+...+(-1)^n-1аn+…..(1), де а1, а2, а3,....-додатні наз знакочергуючим рядом.

Теорема Лейбніца: Якщо в знакочергуючому ряді члени ряду такі, що

1)|a1|>|a2|>….>|an|>…

2)lim|an|=0

n0

то ряд (1) збігається, його сума додатня і не більша першого члену ряду. Тобто:

S<=a1

Доведення

Розглянемо суму перших n=2m членів ряду(1), тобто візьмемо парну кіл-ть членів.

S_2m=(а1-а2)+(а3-а4)+(а5-а6)+...+(а_2m-1-a_2m)

Із умови 1) теореми Лейбніца випливає, що вираз в кожних дужках >0. Отже S_2m>0

S_2m=a1-(а2-а3)-(а4-а5)-(а6-а7)-...-(а_2m-2-a_2m-1)-a_2m.

В силу умови 1) теореми вираз в кожних дужках>0. Тоді:S_2m<a1. Отже послідовність частинних сум S_2m зростає і обмежена, а отже має:

limS_2m=S

m0

Таким чином ми показали, щ S>0, але S<a1. Тобто послідовність парних частинних сум має своєю границею число S.

Зауваження 1: теорема Лейбніца справедлива і в тому випадку, коли нерівності 1 виконуються, починаючи з деякого №n.

Зауваження 2:Якщо знакочергуючий ряд задовольняє умові теореми, то неважко оцінити помилку, яку ми допускаємо при заміні суми ряду S на часткову суму S_n. При такій заміні ми відкидаємо всі члени ряду, починаючи з аn+1 члена ряду. Але всі ті числа, що ми відкидаємо теж утворюють знакочерг ряд, сума якого за абс велечиною менше першого члену цього ряду, тобто менше an+1. Значить помилка, яку ми допускаємо при заміні S на Sn не більша за абсолютну велечину першого із відкинутих членів ряду.

27.Знакозмінні ряди. Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду

Ряд назив знакозмінним, якщо серед його членів є як додатні, так і від’ємні. Знакочерг ряди є частинним випадком знакозмінних рядів.

Теорема(достатня ознака збіжності): Якщо знакозмінний ряд а1+а2+а3+а4+....+аn+... такий, що ряд, складений із абсолютних велечин його членів |a1|+|a2|+|a3|+|a4|+.....-збіжний, то і даний знакозмінний ряд є також збіжним.

Доведення

Розгл 2 ряди:

а1+а2+а3+.....=∑(от ∞ до n=1)a_n(1)

|a1|+|a2|+|a3|+.....=∑(от ∞ до n=1)|a_n| (2)

Нехай (2) є збіжним рядом. Позначимо через S_n частинну суму (1) і через σ_n частинну суму(2).

Так як ряд (2) є збіжним, то послідовність його частинних сум має границю:

lim σ_n= σ

n∞, а тому σ_n<σ при всіх n.

Позначимо через S⁺ суму додатних членів, а через S^- суму від’ємних членів.

S_n= S⁺_n + S^-_n (4) σ_n = S⁺_n + S^-_n (3)

Зауважимо, що послідовність { S⁺_n } і { S^-_n } є неспадними і обмеженими. Отже існують границі:

lim S⁺_n = S⁺ і lim S^-_n = S^-

n∞ n∞

У такому випадку в силу рівності (4) послідовність частинних сум ряду (1) має границю

lim S_n= lim (S⁺_n- S^-_n)= lim S⁺_n- lim S^-_n

n∞ n∞ n∞ n∞

Тобто ряд (1) є збіжним.