16. Лінійні однорідні диф.Р-ня 2-го пор.Означення і загальні властивості

Диф.р-ня 2-го пор. наз.лінійним, якщо воно містить шукану ф-ю у, її похідні у^, і у^,, в першому степені і не містить їх добутків. Заг. вигляд (1). Ф-я f(x) наз. правою част. р-ня . Якщо f(x)=0, то р-ня (2)--наз.лінійним без правої частини або однорідним. Якщо , то р-ня(1) наз.лінійним з правою частиною або не однорідним.

Властивості одн.р-ня (2):

1. Якщо у₁(х) і у₂(х) є розв’язком р-ня, то ф-я ,С₁ і С₂-const є розв’язком (2).

2. Два розв. у₁(х) і у₂(х) наз. лінійнонезалежні якщо const. В протилежному разі лінійно залежні

3. Якщо у₁(х) і у₂(х) є лінійно незалежні, то -є заг. розвязок р-ня (2)

Що стосується заг. розвязку р-ня (1), має місце теорема: Заг розвязок неоднорідного р-ня (1) дорівнює сумі заг. розвязку відповідного однорідного р-ня (2) і якого-небудь частинного розвязку р-ня (1).

Якщо - заг. розвязок. р-ня (2), - частинний розвязок р-ня (1), то -заг. розвязок р-ня (1).

17.Лінійні однорідні диф. Р-ня 2-го пор. Зі сталими коефіцієнтами

(1), p,q-const,-- однорідне лінійне р-ня з сталими коефіцієнтами.

Заг. розв’язком р-ня буде ф-я (2) , де у₁ і у₂ – два лінійно незалежні частинні розвязки цього р-ня. Для знаходження частинних розв’язків у₁ і у₂ припустимо, що ф-я , де к-стале число, є розв’язком р-ня (1). Знайдемо у^, і у^,,. , . Підставимо у^, і у^,, в р-ня (1). , ; так як , то (3). Р-ня (3) наз. характеристичним р-ням для р-ня(1).

При рішенні характеристичного квадратного р-ня можливі наступні випадки:

1. Корні характеристичного р-ня дійсні і різні , тоді , - лінійно незалежні розвязки цього рівняння. Так як const, тоді загальний розвязок р-ня (1) має вигляд , де С₁ і С₂ –const.

2. Корені хар. р-ня дійсні і рівні між собою , тоді заг. розвязок р-ня (1) - , де С₁ і С₂ –const.

3. Корені хар. р-ня комплексні , тоді заг. розвязок р-ня (1) - , де С₁ і С₂ –const.

18.Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку. Метод варіації довільних сталих.

Методом невизначених коефіцієнтів можна скористуватися тільки в тих випадках, коли права частина диференціальної рівняння є функція виду : многочлен, показникова ф-ці я sin x, cos x. В тих випадках коли права частина див. рівняння відмінна від вище названих ф-ці застосовують метод варіаційних сталих(метод Лагранжа).Нехай задано неодорідне диню р-ня: y’’+ p(x)y’ +g(x)y=f(x) [1] Рівняння [1]має розв’язок Y=y¹+y² ,де y² це загальний розв’язок однорідного рівняння, а y² частинний розв. неоднорідного рів.

Нехай (3)загальний розв’язок однорідного рів. (2) де y₁ I y₂ два лінійно незалежні частинні розв’язки з-ня (2). Частинний розв’язок (1) будемо шукати

формі [3] ,припустивши , що С₁ і С₂ деякі ф-ці від х. с₁=с₁(х), с₂=с₂(х). Продифкренціюємо рівність (3) одержимо

. Підберемо с₁ і с₂ так що с₁’y₁+c₂’y₂ = 0,тоді y’=c₁y₁’+c₂y₂’. Продифкренціюємо цей вираз і знайдемо у^,,

. Значення y y’ y’’ підставимо у рівняння (1).

Одержимо С₁’y₁’+С₂’y₂’+С₁y₁’’+С₂y₂’’+p(x)(С₁y₁’+С₂y₂’) +g(x)

(С₁y₁+С₂y₂)=f(x) ; С₂(y₂’’+p(x)y₂’+g(x)y₂ )+С₁(y₁’’+p(x)y₁’+g(x)y₁ )+С₁’y₁’+С₂’y₂’=f(х) Оскільки y₁ I y₂ частинні розв’язки р(2) , то

y₂’’+p(x)y₂’+g(x)y₂=0 , y₁’’+p(x)y₁’+g(x)y₁=0, тоді С₁’y₁’+С₂’y₂’=f(x). Таким чином ф-я y=С₁(x)y₁+С₂(x)y₂ буде рішенням р.(1), якщо ф-ї С₁ і С₂ будуть задовольняти систему : Розв’язавши цю систему знайдемо С₁ і С₂ .Одержимо , , звідси -const ; -const. Загальний розвязок: