4. Повний приріст. Повний диференціал ф-ції 2-х незалежних змінних;його застосування в наближених обчисленнях.
Нехай дано ф-цію двох змінних z=f(x,y) повним приростом ф-ції наз різниця Δz=f(x+ Δx,y+Δy)-f(x,y) (1) виразимо новий приріст ф-ції Δz через частинні похідні. Для цього в рівність (1) додамо і віднімемо величину +- f(x,y+Δy) одержимо
Δz=f(x+
Δx,y+Δy)-f(x,y)+
f(x,y+Δy)
-
f(x,y+Δy)=
f(x+
Δx,y+Δy)
- f(x,y+Δy)+
f(x,y+Δy)-f(x,y)=f(b)-f(a)=f
(c)(b-a),
a<c<b
Застосовуючи теорему Лагранжа до кожного виразу маємо
f(x+
Δx,y+Δy)
- f(x,y+Δy)=df(x
,
y+Δy)/dx*
Δx
де x<
x
<
x+
Δx
f(x,y+Δy)-f(x,y)=df(x,y)/dy* Δy де y< y< y+Δy df(x, y+Δy)/dx* Δx+df(x, y)/dy* Δy
так як за припущенням частинні похідні неперервні,то
lim df(x,y)/dy= df(x,y)/dy
Δx
Δy
lim df(x, y+Δy)/dx= df(x,y)/dx
Δx
Δy
df(x, y)/dy= df(x, y)/dy+j j -нескінченно мала ф-ція
df(x, y+Δy)/dx= df(x,y)/dx+j j -нескінченно мала ф-ція
Δz* df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy+ j Δx+ j Δy
Головна частина приросту ф-ції лінійна відносно Δy і Δx,наз диференціалом ф-ції двох змінних і позначається dz
Δz= dz- ця формула застосовується в наближених обчисленнях
f(x+ Δx,y+Δy) - f(x,y)= df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy
f(x+ Δx,y+Δy)=f(x,y)+df(x,y)/dx* Δx+ df(x, y)/dy* Δy
Δx=x-x Δy=y-y
x
=yx
Δx+x
lnx
Δy+z(x
,y
)-ф-ла
для наближених обчислень.
5.Частинні похідні вищих порядків.
Так як частинні похідні від функції декількох змінних є також ф-я дек. змінних , то для них також можна знайти похідні.
По відношенню до даної ф-ї частинні похідні від част. похідних даної ф-ї наз. частинними похідними вищих порядків.
Похідні
та
називаються змішаними похідними і вони
рівні між собою в тих точках, в яких
неперервні.
Теорема: Якщо ф-я Z = f(х;у), f’`x, f `y, f```xy, f```yx визначені і неперервні в т. Мо(хо;уо) і її околі, то в цій точці частинні похідні рівні.
f``xy= f`’`yx ∂2 z = ∂2 z
∂у ∂х ∂ х ∂ у
6.Похідні за напрямками. Градієнт ф-ї декількох змінних.
Нехай в обл. Д задано f(х;у) і точку Мо(хо;уо).
Проведемо із т. Мо вектор ℓ під кутом a до ОХ.
На ℓ візьмемо т. М(х,у). Тоді / ММо/=f(М)-f(Мо)=((х-хо)2+ (у-уо)2)0,5=(∆х2+∆у2).
Припустимо, що ф-я f(х;у) неперервна і має непер. похідні по своїм аргументам. Тоді повний приріст ф-ї можна записати у вигляді:
∆Z=(∂z) ∆х+(∂z )∆у+a1∆х+a2∆у
(∂х ) (∂у)
Поділимо ліву і праву частину на ∆ℓ.
Похідною ф-ї Z=(х;у) в напрямком ℓ в т.М0 наз границя відношення ∆Z до ∆ℓколи останне прямує до 0.Таким чином похідна за напрямком:
∂Z М0= ∂Z М0 соsa+∂Z М0 sіna
∂ℓ ∂х ∂у
Із всіх напрямків що, виходять з т М0 , необхідно знайти такий в напрямку якого , похідна aZ/∂ℓ приймає найб значення. Це напрямок градієнта.
Градієнтом ф-ї Z=f(х;у) в т Мо(хо;уо) наз вектор з початком в т Мо, який має своїми координатами частинні похідні ф-ї Z.
grad Z =(∂Z/∂х)/ М0і+ (∂Z/∂у)/ М0j.
Градієнт вказує напрям найб зростання ф-ї в даній точці. Похідна ф-ї в напрямку градієнта має найб значення.
grad Z =((∂Z/∂х)2/ + (∂Z/∂у)2)0,5