75.Умовне математичне сподівання дискретної і неперервної двовимірної випадкової величини.

Математичним сподіванням М(Х) дискретної випадкової величини X називається число, що = сумі добутків всіх її можливих значень х1, х2, х3…..хn на відповідні їм ймовірності р1, р2, р3….рn, тобто:

1. Математичне сподівання сталої величини C дорівнює C, тобто .М(C)=С

2. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, тобто

3. Математичне сподівання суми двох випадкових величин X і Y дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто:

Випадкові величини X і Y називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке можливе значення прийняла друга величина.

4. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто:

5. Математичне сподівання різниці двох випадкових величин X і Y дорівнює різниці їх математичних сподівань, тобто:

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X з щільністю ймовірності f(x) називається величина невласного інтеграла, якщо він збіжний:

76.Залежні і незалежні випадкові величини. Необхідна і достатня умова незалежності випадкових величин.

Випадкові величини X і Y називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке можливе значення прийняла друга величина.

При визначенні систем ВВ велику увагу приділяють степені і характери їх залежності. ВВ Yназив. незалежною від ВВ Х, якщо закон розподілу ВВ Y не залежить від того, яке значення прийняла величина х, тобто f(x/y)=f₁(y) , f(y/x)=f₂(y). Для залежних f(x/y)≠f₁(x); для незалежних f(x/y)=f₁(x). ТЕОРЕМА. Для того щоб ВВ ХіY були незалежними необхідно і досить, щоб ф-ція розподілу системи = добутку ф-ції розподілу складових, тобто F(x,Y)=F₁(x)*F₂(y). Наслідок: Для того, щоб неперервні ВВ були незалежними необхідно і досить, щоб щільність сумісного розподілу системи (х,y) = добутку щільності розподілу складових.

77.Числові характеристики двовимірної випадкової величини. Початкові і центральні моменти. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. Теорема про кореляційний момент для незалежних випадкових величин.

Сукупність матем. сподівань представляє собою характеристику положення системи (М(х),М(y)) – це корд. Точки на площині навколо якої відбувається розсіювання системи. Для дискретної системи (х,y) M(x)= , M(y)= Для неперервної системи М(x)= , M(y)= , при умові, що ці інтеграли збігаються абсолютно. Якщо дані інтеграли є розбіжними, то матем. сподівання не існує.

Центральні моменти другого порядку співпадають з дисперсіями ВВ Х і Y. Вони характеризують розсіювання системи (х,y) навколо осей Ох і Оy. Для ДДВВ D(x)= , D(y)= Для НДВВ

D(x)= , D(y)= .

Середнє квадратичне відхилення складових знаходиться за формулою (х)= D(x), (y)= D(y).

Кореляційним моментом _\М_хy ВВ Х і Y назив. матем.сподівання добутку відхилень цих величин. _\M_xy=(x-M(x))(y-M(y)). Для ДДВВ:

_\М_xy= , для НДВВ _\М_xy= ВВ для яких кореляційний момент = 0 назив. некорельованим.

Коефіцієнтом кореляції r_xy назив. відношення кореляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин, тобто r_xy=_\M_xy/(х)* (y), де r_xy1. Коефіцієнт кореляції характеризує силу лінійної залежності між (x,y). Чим ближче значення r_xy до одиниці, тим більшою буде рівність y=ax+b. Якщо r_xy=0, то або залежність між х і у лінійному закону не підлягає, або вони взагалі незалежні.