72.Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної двовимірної випадкової величини та її основні властивості. Ймовірність попадання випадкової точки в задану область.

Щільністю розподілу двовимірної випадкової величини( x;y) назив. границя відношення ймовірності того, що в. в. попаде в прямокутник зі сторонами ∆x і ∆y до площі цього прямокутника, коли площа прямує до 0.

f( x; y) = Lim ∆x>0, Δ y>0 P ( x<X<x +∆x; y < Y<y + ∆y )/ ∆x ∆y.

Виразимо щільність розподілу f( x; y) через похідну. Відомо що:

P ( x<X<x +∆x; y < Y<y + ∆y ) = F (x +∆x; y + ∆y)- F (x; y + ∆y) – F (x +∆x; y) + F (x; y).

Тоді: f ( x) = Lim ∆x>0, Δ y>0 { F (x +∆x; y + ∆y)- F (x; y + ∆y) – F (x +∆x; y) + F (x; y).} / ∆x∆y ;

Lim F (x +∆x; y) - F (x; y)/ ∆x = ðf /ðx;

f( x; y) = ð2x / ðy;

Отже, щільність розподілу двовимірної випадкової величини ( x; y) це друга змішана похідна від функції (x; y)

Властивості f( x; y):

1. f( x; y) = 0;

2. Подвійний інтеграл від щільності розподілу в нескінченних межах = 1

f (x; y) dx dy = 1

3. Ймовірність того що в. в. x попаде в обл. Д буде = інтегралу від щільності розподілу по заданій обл.

P (x; y) € D = f(x; y) dx dy

4. Функція розподілу двовимірної випадкової величини може бути виражена через щільність розподілу:

F (x; y) = P (X<x; Y<y ) = P ( - < X< x; - < Y < y )= f( x; y) dx dy

73.Щільності розподілу ймовірностей складових двовимірної випадкової величини (безумовні щільності).

Випадкова величина   називається рівномірно розподіленої на відрізку   , Якщо її щільність розподілу ймовірностей   (35.1)  де   - Число, яке визначається з умови нормування:   . (35.2)  Підстановка (35.1) в (35.2) призводить до рівності, рішення якого щодо   має вигляд:   .  Функція розподілу ймовірностей   рівномірно розподіленої випадкової величини може бути знайдена за формулою (33.5), яка визначає   через щільність:   (35.3)  На рис. 35.1 представлені графіки функцій   і   рівномірно розподіленої випадкової величини.  Рис. 35.1. Графіки функції і щільності розподілу  рівномірно розподіленої випадкової величини. 

74.Умовні закони розподілу складових двовимірної випадкової величини (дискретної і неперервної).

Випадок дискретної величини

Розглянемо дискретну двовимірну випадкову величину . Нехай можливі значення складових такі:

Через позначимо умовну ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення за умови, що випадкова величина набула значення а через – умовну ймовірність того, що випадкова величина набуде значення за умови, що випадкова величина Х набула значення

Ймовірності і обчислюємо за формулами:

(2.28)

(2.29)

Умовним законом розподілу складової Х двовимірної дискретної випадкової величини за фіксованого значення складової називається перелік усіх можливих значень випадкової величини Х та відповідних їм умовних ймовірностей

Умовним законом розподілу складової двовимірної дискретної випадкової величини за фіксованого значення називається перелік усіх можливих значень випадкової величини та відповідних їм умовних ймовірностей

Умовні закони розподілу складових Х і двовимірної дискретної випадкової величини записують, відповідно, у вигляді таблиць 2.3, 2.4.

Таблиця 2.3

			…
			…

Таблиця 2.4

			…
			…

Висновок: знаючи безумовні закони розподілу складових Х і та умовний закон розподілу однієї з них, можна скласти закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини Ймовірності можливих її значень обчислюємо за формулами:

Випадок неперервної величини

Нехай – двовимірна неперервна випадкова величина і – щільність її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових Х і визначаються рівностями:

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової Х двовимірної неперервної величини за фіксованого значення називається відношення щільності її сумісного розподілу до щільності складової

(2.30)

Умовною щільністю розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної величини за фіксованого значення називається відношення щільності її сумісного розподілу до щільності складової Х:

(2.31)

Умовна щільність розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної випадкової величини визначає її умовний закон розподілу.

Звідси маємо висновок: знаючи щільність розподілів складових Х і та умовну щільність розподілу однієї з них, можемо обчислити щільність розподілу двовимірної неперервної випадкової величини за формулами: