68. Теорема Бернуллі.

Якщо кожному із n- незалежних випробувань й-ть появи події А стала, то як завгодно близька до 1 й-ть того, що відхилення відносної частоти від й-ті Р по абсол. Величині буде як завгодно малим, якщо число випробувань досить велике.

Доведення. Розглянемо в.в. Х= і визначимо М(х), Д(х).

М(х)=

Д(х)=Д(

Застосуємо нерівність Чебишева.

≥

Зауважимо, що й-ть любої випадкової події не більше 1.

≤ ≤1.

.

Зауважимо, закон великих чисел має велике практичне значення він дозволяє надати достовірний зміст рівно систем.

.

69. Теорема Ляпунова.

В.в. розподілені за нормальним законом розподілу. Центральна гранична теорема сформульована Ляпуновим як раз пояснює це явище.

Якщо незалежні в.в. Х₁, Х₂,…Х_n мають скінченні математичні сподівання і дисперсії, що відповідно дорівнюють А₁,А₂,…А_n і і число їх досить велике, а при

- центральний момент 3-го порядку, то сума в.в. Х₁+Х₂+…+Х_n з достатнім степенем точності розподілена за нормальним законом

Умова (*) назив. Умовою Ляпунова і зміст її полягає в тому, що дія любого доданку не значна в порівнянні з дією їх всіх. Теорема Ляпунова має велике значення, а нормальний закон розподілу є одним із основних.

Закон великих чисел застосовується при плані, об’єму і асортиментів товарів широкого вжитку, теорії надійності, теорії стрільби, теорії вимірів і в інших галузях народного господарства.

70.Дискретні двовимірні випадкові величини. Закон розподілу. Основні властивості. Закони розподілу компонент.

Нехай в результаті випробувань спостерігаються значення в.в. Х і У.Сукупність в.в. (Х;У), які розглядаються в сукупності наз. системою двох випадкових величин або двовимірною в.в. ДВВ можна геометрично втлумачити як вип.. точку М(х у) на площині або як вип. вектор ОМ(х,у). Якщо в.в. Х і У дискретні, то і двовимірна в.в. наз. дискретною. Якщо ж в.в. ХУ неперервні, то і ДВВ (ХУ) наз. неперервною. Задати ДВВ (ХУ) дискретного типу можна за допомогою закону розподілу або ф-ції розподілу.Всяке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями ВВ(ХУ) і відповід. їм ймовірност. наз. законом розподілу системи ВВ.

Найпростішою формою закону розподілу ВВ(ХУ) дискретного типу є таблиця з подвійним входом, що містить всі можливі пари значень (Х_іУ_j) ВВ(ХУ) з відповідними їм ймовірностями, Р_ij=Р(Х=х_і, У=у_j) що задовольняють умові

71.Неперервні двовимірні випадкові величини. Функція розподілу та її властивості.

Сукупність випадкових величин, які розглядаються разом, називається системою двох випадкових величин або двовимірною випадковою величиною.

Двовимірну випадкову величину можна геометрично тлумачити як випадкову точку A(X,Y)на площині XOY або як випадковий вектор OA.

Двовимірна випадкова величина ) (X,Y називається дискретною, якщо її складові Х і Y є дискретними одновимірними випадковими величинами, і неперервною, якщо її складові Х і Y є неперервними одновимірними випадковими величинами. Складові Х і Y двовимірної випадкової величини ) (X,Y називають ще її компонентами.

Функція розподілу F(x) визначає ймовірність того, що випадкова величина набуває значень, менших за x (x-довільне дійсне число).

Основні властивості ф-ї розподілу

1. F(x) неспадна на проміжку (-∞;+∞)

2. F(x) неперервна зліва на інтервалі (-∞;+∞)

3. і