62. Рівномірний закон розподілу

Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу:

Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:

63. Показниковий закон розподілу

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:

Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:

64. Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу задається щільністю Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:

Часто застосовується також формула:

65. Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини. Ймовірність її відхилення від математичного сподівання. Правило трьох сигм

66.Закон великих чисел Лема і нерівність Чебишева.

Якщо в.в. є результатом масових спостережень, то її особливості в окремому спостереженні практично не впливають на її середній результат. Середній результат масових спостережень над в.в. практично перестає і веде себе як цілком певна величина. Ця властивість назив. властивістю стійкості середнього. Вона визначає фіз. зміст закону великих чисел теорії й-ті.

Математичний зміст закону великих чисел складають ряд теорем, які теоретично дозволяють встановити факт стійкості середнього показника в.в. як результат масових спостережень.

Різні форми закону великих чисел дають можливість не лише науковий прогноз розвитку наукових явищ, але й оцінити точність їх прогнозів.

Нерівність Чебишева

Якщо х – в.в. з математичним сподіванням М(х)=а і дисперсією Д(х), то ймовірність того, що значення в.в. відхиляється від математичного сподівання абсолютній величині не менше ніж на досить мале число Е>0, буде не більше величини ,тобто

М(х)=а, (х-а)² – в.в., яка не приймає від’ємних значень.

Для оцінки й-ті виконується нерівність ,

67. Закон великих чисел. Теорема Чебишева.

Якщо Х₁, Х₂,…,Х_n попарно незалежні в.в. причому дисперсії їх рівномірно обмежені (Д(Хі)≤С), то яким би малим не було додатне число Е , Е>0 (Е ) справедливе наступне співвідношення {

До в.в. застосовується нерівність Чебишева

, при Д(х)= , то

Теорема. Нехай х – в.в., можливі значення якої невід’ємні, А – const ( А>0), тоді й-ть того, що в.в. х прийме значення не менше х буде не більше дробу чисельник якого е математичне сподівання М(х), а значення А.

Теорема Чебишева для окремого випадку.

Якщо в результаті n – спостережень, де n досить велике число одержані в.в. Х₁, Х₂,…, Х_n попарно незалежні з одним і тим же математичним сподіванням M(X₁)=M(X₂)=…=M(X_n)=a і рівномірно обмежені дисперсіями Д(Х_і) С, то середнє арифметичне значення величин, що спостерігаються збігаються по й-ті до числа А, тобто

,

Із теореми Чебишева випливає, що при досить великому n середнє арифметичне значення в.в., що спостерігається в окремому має властивості стійкості, тобто на практиці може бути замінене математичним сподіванням в.в.