58. Медіана і мода розподілу

Модою н.в.в наз таке її знач, при якому щільність розподілу має максимум. Мода – це абсциса точки максимума кривої розподілу. Розподіли бувають двом-, багато-, антимодальні. Медіаною в.в х наз таке її знач, для якої справедлива рівність P(x<m_e) = P(x>m_e) = ½. Для н.в.в медіану можна знайти з рівності F(m_e) = ½. ; ; . Медіана – це абсциса точки, в якій площа обмежена кривою розподілу ділиться пополам. 59.Початкові і центральні моменти розподілу. Коефіцієнти асиметрії й ексцесу

Початковим моментом ν_к порядку к .в.в х наз мат сподів вел Х^к, тобто ν_к = М(х^к). Для н.в.в . Центральним моментом µ_к порядка к в.в х наз мат сподів центрованої в.в в степені К, тобто . Для н.в.в . µ_к і ν_к пов’язані між собою певними співвідношеннями: µ₁=0; µ₂=ν₃-3ν₁ν₂ + 2ν³₁; µ₃= ν₃-3ν₁ν₂ + 2ν₁³; µ₄= ν₄- 4ν₃ν₁ + 6ν₁²ν₂-3ν₁⁴. Асиметрією теоретичного розподілу нах відношення центрального моменту 3-го порядку до кубу середнього квадратичного відхилення . Асиметрія показує чи симетричний розподіл відносно центра розподілу (мат сподів). Властивості: 1) якщо розподіл симетричний відносно мат сподів, то A_s=0; 2) якщо A_s>0, то довша частина кривої розподілу розташ справа від мат сподів; 3) якщо A_s<0, то довша частина кривої розподілу розташ зліва від мат сподів. Ексцес в.в х , де μ₄ – центральний момент 4-го порядку; σ⁴ – сер квадр відхил. Криві більш гостро вершинні в порівнянні з нормальною кривою мають E_x>0, а криві більш плосковерш мають E_x<0.

початкові моменти m-го порядку

Центральні моменти m–го порядку

Коефіцієнт асиметрії

Ексцес

60. Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

61. Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли