50. Послідовність незалежних випробувань. Формула Пуассона .

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події

Формула Пуассона .

Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням p- до нуля .Тому при n → R,

p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз

(0<=m <=n),обчислюється за такою асимптотичною формулою:

Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то

53-54. Поняття випадкової величини.Дискретні і неперервні в.в. Закон розподілу. Функція розподілу в.в.Ймовірність попадання в.в. в заданий проміжок.

Одним із основних понять теорії імовірності є поняття випадкової величини.

В.в.- це величина ,яка врезультаті випробування приймає певні випадкові значення .Це значення наперед не відоме , і залежить від різних факторів , які наперед не можно врахувати .В.В. позначаються великими буквами X, Y ,Z , а їх значення малими буквами x1 ,x ,2 x3 ,… xn , y1 ,y2, y3, …,yn, z1,z2,z3,…,zn. Розрізняють 2 види в.в.дискретні і неперервні.

Дискретні в.в. назив. в.в. , яка може приймати счісленну скінченну або нескінченну множину значень з певними імовірностями . Неперервною в.в. назив в.в. , яка приймає всі значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу. До неперервних в.в. можно віднести помилки обчислень , температуру тіла людини та ін.

Задати Д.в.в. можно задопомогою таблиці

X x1 x2 x3 … xn

P p1 p2 p3 …. pn

Перший рядок містить можливі значення в.в. , а в другому рядку імовірності.

Законом розподілу імовірностей Д.в.в. назив перелік її можливих значень відповідних їм імовірностей .

Д.в.в. можно зобразити графічно .Д.в.в можно задати аналітично задопомогою функції розподілу .Функцією розподілу або інтегральною функ. Назив.функцію F(x), яка визначає для кожного значення Х ймовірність того , випадкова величина прийме значення менше Х , тобто F(x) =P(X<x).Якщо х – фіксована точка , Х-в.в., то F(x)- характерезує ймовірність попадання випадкової точки в проміжок лівіше точки х.

Властивості F(x):

1.Значення функ.розподілу належить відрізку [ 0 ,1 ] .дана властивість випливає з визначення функції розподілу як імовірності F(x) =P(X<x) .А за власт. Імовірність 0< рівнеP<рівне 1

2.Фун. F(x)є неперервною функцією , тобто F(x2) >рівнеF(х1)

Імовірність того, що в.в. Х прийме значення з інтервалу ( λ,β)= приросту функції розподілу на цьому інтервалі P(< рівне x<рівне β)=F(β)-F()

Імовірність того ,що неперервна в.в. х прийме одне певне значення =0 .

Функ. F(x)є неперевною функцією тоді всилу неперервності і різниця є неперервною функ.Якщо можливі значення в.в. належать інтервалу(,β)

F(x)=0 при x<

F(x) =1 при x>β.

Графік функ. розподілу для дискретної в.в. мають ступенчатий вигляд .

54-55. Неперервна випадкова величина .Функція розподілу і щільність розподілу Н.в.в., їх властивості .Ймовірність попадання в.в. в заданий інтервал.

Неперервною в.в. назив в.в. , яка приймає всі значення з деякого скінченного або нескінченного інтервалу. До неперервних в.в. можно віднести помилки обчислень , температуру тіла людини та ін.

Н.в.в. можно задати 2-ма способами :

1) функцією розподілу F(x)

2)щільністю розподілу імовірностей f(x)

Нехай ч- неперервно в.в. , що задана функ.розподілу .Ф f(x)- неперервна і диф. Розглянемо дуже малий проміжок (x ,∆x),∆x>0 ы зн. P(x<x<x+∆x).Відомо ,що P(<x<) =F()- F(). P(x < x<x+∆x)=F(x +∆x) –F(x) Розглянемо lim∆x→0 P (x< x <x+∆x)/∆x=lim∆x→0F(x+∆x)- F(x ) /∆x=lim∆x→0∆F(x)/∆x=F’(x) =f(x)

Щільністю розподілу імовірностей Н.в.в. Х назив .функ.F(x)першу похідну від функції розподілу , тобто f(x)=F’(x).Із цього випливає , що функ.розподілуF(x)є первісною для щільності розподілу.Щільністьрозподілу має такі властивості :

щільністьрозподілу невід’ємна функція

Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах (- ∞ ,+∞) = 1 , тобто -∞∞∫ f(x)dx=1

Імовірність того,що Н.в.в. Х прийме значення , що належить інтервалу [a,b]дорівнює визначеному інтервалу від щільності розподілу взятого в межах [a,b].

Доведення Відомо ,що P(a<x<b)=F(b)-F(a)=F(x)/ab =ab∫f(x)dx

Таким чином , імовірність попадання P(a<x<b)= ab∫f(x)dx. Знаходження функції розподілу по вівдомій щільності розподілу задача набагато складніша чим знаходження щільності розподілу за функцією розподілу.Щільність розпод.імов.є диферен. Функ.розподілу f(x)=F’(x),а функція розподілу є інтегральною функцією F(x) = -∞ x∫ f(x)dx

Дійсно , за означенням F(x)=P(x<x)=P(-∞<x<x)= -∞x∫f(x)dx =F(x); F(x)= -∞x∫f(x)