37.Сумісні, несумісні події. Повна група подій. Протилежні події

Дві події називаються несумісними, якщо вони не можуть відбутися одночасно. Якщо події А та В несумісні, то Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої. Повною групою подій у теорії ймовірності називається система випадкових подій така, що в результаті проведенного випадкового експерименту неодмінно станеться одне з них.

Хай  є імовірнісний простір. Будь-яке розбиття простору елементарних подій називається повною групою подій.

Повна група подій зазвичай використовується в формулі повної ймовірності.

Нехай, проводиться підкидання монети. В результаті цього експерименту обов'язково станеться одна з наступних подій:

• : монета впаде орлом;

• : монета впаде решкою;

Події, які в реальному житті не можуть відбутися, ми не розглядаємо. Наприклад:

• : монета впаде на ребро;

• : монета зависне в повітрі.

Таким чином, система   є повною групою подій.

Дві події називаються протилежними (opposite), якщо вони несумісні і складають повну групу.

38.Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірностей

Класичний спосіб означення ймовірності базується на понятті. Ймовірністю Р(А) наз. відношення числа m елементарних подій, що сприяють появі події А, до загального числа n рівно можливих елементарних подій. Р(А)= .

Властивості :1.Ймовірність достовірної події = 1. тобто Р(u)= 1 2.Ймовірність неможливої події = 0. Тобто Р(v)=0 3.Ймовірність випадкової події є додатне число, що знаходиться між 0 і 1.

Геометрична ймовірність

При класичному визначенні ймовірності допускалося, що число елементарних подій є скінченою множиною. Проте на практиці часто зустрічаються випробування, у яких множина можливих наслідків нескінченність. Щоб уникнути недоліків класичного визначення ймовірності з статистичних експериментів з нескінченним числом наслідків вводять поняття геометричної ймовірності.

Нехай простір елементарних подій ( омега) утворює нескінченну неперервну сукупність, яку можна зобразити точками деякої області Q в n вимірному просторі. А випадкову подію А можна зобразити точками в області .

1) якщо n = 1, то q- відрізок прямої і

2) якщо n= 2 ,то q -є деяка область і

3) якщо n =3. то q- деякий об’єм і , де Vq- об’єм області q, VQ – об’єм області q.

39. Статистичне означення ймовірності. Стійкість відносних частот

Відношення числа дослідів (m) , в яких подія А з’явилася до загального числа n проведених дослідів наз. частотою події А і позначається W(A) = .

При необмеженому зростанню n замічено стійкість частоти. Цю величину наз. статистичною ймовірністю. Зазначимо, що т.й. має справу тільки з статистично стійкими експериментами.

40.Геометричне означення ймовірності

.

41.Теорема про ймовірність суми скінченного числа несумісних подій.

42.Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

43.Залежні і незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення для залежних і незалежних подій.

44.Ймовірність появи хоча б однієї події з декількох незалежних подій.

45.Формула повної ймовірності.

Нехай подія А може наступити при умові появи однієї з несумісних подій які утворюють повну групу подій. Нехай відомі ймовірності цих подій і умовні ймовірності.

Необхідно знайти ймовірність події .

Теорема

Ймовірність події , яка може наступити лише при умові появи однієї з несумісних подій що утворюють повну групу подій дорівнює сумі добутків з цих подій на відповідному умовну ймовірностей події , тобто

-

Формула повної ймовірності

Доведення

Нехай подія може наступити тільки із однією із подій які утворюють повну групу подій, тобто може наступити

Із малюнка видно, що події є попарно несумісними, а тому попарно несумісними будуть і події .

Застосувавши до кожного доданку останньої рівності теорему множення ймовірностей одержимо: