1. Визначення ф-ції двох незалежних змінних. Геометричне зображення ф-ції двох змінних.

Змінна величина z наз ф-цією двох змінних x і y якщо для любої пари x,y із області Д по певному правилу чи закону відповідають цілком певні значення z і зак.

Z=f(x,y) z=z(x,y)

Дамо геометричне тлумачення ф-ції двох змінних:

Розглянемо ф-цію z=f(x,y) і прямок. сист. координат в просторі (Графік):

P(x,y) Є XOY

M(x,y,z)

кожна пара x,y геометрично визначає точка P(x,y) на площині XOY ,а значення ф-ції в цій точці є апліката z ,точки M(x,y,z) ,що знаходяться в просторі.

Тоді геометричне місце точки М, це є деяка поверхня, яка взаємнооднозначно проектується в область Д ,що належить площині XOY.

Ця поверхня і є геометричне зображення ф-ції двох змінних.

Ф-цію трьох і більше змінних зобразити графічно не можливо.

2 Границя і неперервність ф-ції 2-х змінних.

Нехай дано точку M(x,y) проведено коло радіуса δ ,з центром в точці М₀

Означення:

δ-околом точки М₀ наз сукупність всіх точок M(x ,y ) ,що задовольняють нерівності

δ

таким чином це є множина т. ,що розташована в сер. круга , радіуса – δ.

Нехай в площині XOY задано область Д т. M(x ,y ) Є Д , проведемо коло радіуса δ, візьмемо в δ-околі т. M(x ,y ) т. M(x,y), якщо x→x ,y→y ,то і т. M(x,y) → M(x ,y ) тобто відстань між двома т. яка виражається ф-ою 0

Означння: Постійне число А наз. границею ф-ції z=f(x,y) при x→x ,y→y ,якщо для любого досить малого додатного числа E>0 існує таке δ(E)>0 досить мале додатне E,що для всіх т. М, що задовольняють умові 0<MM < δ вик. нерівність <E A= lim f(x,y)

Границя ф-ції двох змінних має ті ж самі властивості,що і границя однієї змінної:

Нмф	нвф
0+0+0+...+0=0	+++...+=  = (j>0)
0*0*0*...*0=0	+с= /c=0
с*0=0	*=
0/0=0	*с= (с≠0)

Означення:

Ф-ція z=f(x,y) наз неперервною в т. (x ,y ) якщо вона визначена в околі цієї т.,а значить і в самій т.існує границя ф-ції і = значенню цієї ф-ції в т. (x ,y ), тобто

lim f(x,y)= lim f(x ,y )

Означення: Ф-ція z=f(x,y) наз неперервною в області Д якщо вона неперервна в кожній точці цієї області, як для ф-цій однієї змінної. Сума,різниця,добуток неперервних ф-цій є ф-ція неперервна, частка неперервних ф-цій є також неперервна ф-ція, якщо границя знаменника не дор. 0, справедлива також теор. про неперервність складної ф-ції.

3. Частинні прирости та частинні похідні ф-ції декількох незалежних змінних.

Нехай дано ф-цію z=f(x,y) зафіксуємо одну із змінних , тобто будемо вважати, що y=const. тоді величина Δz=f(x+Δx,y)-f(x,y) наз частинним приростом ф-ції z по аргументу x. Аналогічно, якщо x=const.

Δz=f(x,y+Δy)-f(x,y)- частинний приріст ф-ції z по аргументу y.

Означення: Частинною похідною ф-ції z=f(x,y) по аргументу x наз скінченна границя відношення частинного приросту ф-ції по аргументу x до приросту аргументу Δx, при умові,що Δx 0.

dz/dx=limΔx z/Δx dz/dx=zx

Δx

Аналогічно частинну похідну ф-ції z що дор. z=f(x,y) по аргументу наз скінченна границя відношення частинного приросту ф-ції по аргументу y до приросту аргументу y ,при умові що Δy . dz/dy=limΔ z/Δy dz/dy=z Δy

Означеня: Частинною похідною ф-ції u=u(x ,x ,…,x ) по аргументу x наз скінченна границя відношення частинного приросту ф-ції u по аргументу x до приросту аргументу Δx , при умові,що Δx 0. du/dx =limΔ u/Δx Δx

Тобто із означення похідних випливає,що всі правила знах. Похідної зберігаються,але слід пам”ятати,що в процесі знаходження частинних похідних одна із змінних вважається змінною,та по якій знаходять частинну похідну,а решта змінних вважають аргументами.