12. Понятие случайной величины., дискретная и непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятности дискретной случайной величины, способы его задания.

Случайная величина- это величина, которая в результате испытания, принимает только одно значение из возможного набора значений. По принимаемым значениям бывают: дискретными и непрерывными. Дискретная величина в испытаниях принимается с определенной вероятностью, изолированное отдельное значение из возможного набора значений. Например: число родившихся мальчиков из новорожденных. Непрерывная случайная величина принимает с определенной вероятностью любое значение из некоторого интервала значений. Пример расстояние полета снаряда . Отличие случайной величины от случайного события: случайная величина может выбирать любое значение из возможных значений. Дискретная случайная величина считается заданной, если известен закон ее распределения. Способы задания законов распределения: биномиальный и Пуассона. Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q. Закон пуассона: Событие называются редкими, когда вероятность события р или противоположного ему q близка к нулю. При большом числе испытаний (n), но небольшой величине произведения числа испытаний на вероятность (np),

13Распределения дискретных случайных величин: биномиальный и Пуассона.

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , n,  а соответствующие им вероятности равны:

             (21)

где  0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... , n.   

Как видно из (21), вероятности Рm вычисляются, как члены разложения бинома Ньютона  , откуда и название «биномиальное распределение».

Примером является выборочный контроль качества производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, т.е. когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда количество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. 

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: n  и  p. Cлучайная величина, распределенная по биномиальному закону, имеет следующие основные числовые характеристики:

            (22)

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если она имеет бесконечное счетное множество возможных значений 0, 1, 2, ... , m, …,  а соответствующие им вероятности определяются формулой:

        (23)

Примерами случайных явлений, подчиненных закону распределения Пуассона, являются: последовательность радиоактивного распада частиц, последовательность отказов при работе сложной компьютерной системы, поток заявок на телефонной станции и многие другие.  Закон распределения Пуассона (23) зависит от одного параметра а , который одновременно  является и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона. Таким образом, для распределения Пуассона имеют место следующие основные числовые характеристики:

          (24)

Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... , m, … , а вероятности этих значений:

          (25)

где 0 < p < 1,  q = 1 – p ;  m = 0, 1, 2, ... .

Вероятности Рm для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q, откуда и название «геометрическое распределение».

В качестве примера рассмотрим стрельбу по некоторой цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов  и сохраняет постоянное значение р (0 < p < 1). Тогда количество произведенных выстрелов будет случайной величиной с геометрическим распределением вероятностей. 

Геометрическое распределение определяется одним параметром р. Cлучайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, имеет следующие основные числовые характеристики:

           (26) 

Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрами  a, b,  n,  если ее возможные значения  0, 1, 2, ... , m, … , а  имеют вероятности:

            (27)

Гипергеометрическое распределение возникает, например, когда из урны, содержащей  а  черных и  b белых шаров, вынимают n шаров. Случайной величиной, подчиненной гипергеометрическому закону распределения, является число белых шаров среди вынутых. Основные числовые характеристики этой случайной величины:

         \

14.статистические характеристики дискретной случайной величины М(х)D(x) б(х)Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина   может принимать только значения   вероятности которых соответственно равны   Тогда математическое ожидание   случайной величины   определяется равенством Если дискретная случайная величина   принимает счетное множество возможных значений, то Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:      …  По определению дисперсии Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.Формула для вычисления дисперсииДля вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины   и квадратом ее математического ожидания:

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величинПусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Чтобы найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин, воспользуемся следующей теоремой.Теорема: Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин: Доказательство. Обозначим через   сумму рассматриваемых взаимно независимых величин: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых, поэтому Отсюда Или окончательно

15.свойства математического ожидания дискретной случайной величины.Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: , где   – возможные значения случайной величины  , а   – соответствующие вероятности. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу: , Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 Свойства математического ожидания1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: . 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: . Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: . Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится   независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события   постоянна и равна  . Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Математическое ожидание числа появлений события   в   независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: .

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: . Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания: . Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины   и квадратом ее математического ожидания: .

16. Св-ва дисперсии дискретной случайной величины, основные формулы.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и   (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.

Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 

2. Постоянный  можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

(для разности аналогично)

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

4.                                                                                                           

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

17. Непрерывные случайные величины. Функция распрделения вероятности непрерывной случайной величины, ее св-ва и график.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(Х), выражающая для каждого Х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее Х:  .

Функцию F(х) иногда называют интегральной функцией распределения, или интегральным законом распределения.

Случайная величина Х называется Непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Примеры непрерывных случайных величин: диаметр детали, которую токарь обтачивает до заданного размера, рост человека, дальность полета снаряда и др.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю

.

Следствие. Если Х — непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал   не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т. е.

.

Если непрерывная случайная величина Х может принимать только значения в границах от А до B (где А и B — некоторые постоянные), то функция распределения ее равна нулю для всех значений   и единице для значений  .

Для непрерывной случайной величины

.

Все свойства функций распределения дискретных случайных величин выполняются и для функций распределения непрерывных случайных величин.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.

Плотностью вероятности (Плотностью распределения или Плотностью) Р(Х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

.

Плотность вероятности Р(Х), как и функция распределения F(Х), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для Непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией, или дифференциальным законом распределения.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

.

 (рис. 8.1).

Рис. 8.1

 (рис. 8.2).

Рис. 8.2

4.  .

Геометрически свойства плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.