1.Предмет теории вероятностей. Исходные понятия теории вероятностей (вероятность, испытания, события, совместные и несовместные события)

Событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий. Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

2.Классификация событий (достоверные, невозможные и случайные)

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

3.Статистическое ,геометрическое и арифметическое определения вероятности.

Стат вероятность- относительная чистота ,появления события или число близкое к ней.всегда высчитывается из отношения m/n, всегда высчитывается из эксперимента.При большом числе n стат вероятность равняется классической вероятности или же становится ей близка. Недостаток: Дорогостоимость экспериментов. Геометрическая вероятность- вероятность попадания точки в какую-то область. Арифметическое определение- это отношение кол-во благоприятных исходов испытания к общему кол-ву испытаний.

4.Элементы комбинаторики (Перестановки, размещения, сочетания)

Перестановки- это комбинации отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Pn=3!=1*2*3.Размещение- это комбинации из n-элементов А=n!/(n-k)! Сочетание- комбинации из n-элементов по m которые отличаются хотя бы одним элементом. С= n!/m!(m-n)!

5.Теорема сложения вероятностей совместных и несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

6.Элементарные события. Полная группа событий. Противоположные события. Вероятность противоположных событий.Пространство элементарных событий — множество всех различных исходов случайного эксперимента. Полной группой(системой) событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают .

7.Независимые события. Умножение независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Независимые события- от появления или не появления одного не зависит появление другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность появления хотя бы одного из событий равнятеся разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий.

8.Зависимые события, условная вероятность, умножение зависимых событий.Зависимые события- от появления или не появления события А зависит появление события В. Условная вероятность появления события В при условии, что А произошло. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность появления другого, при условии, что первое событие уже произошло.

9.Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Полная вероятность события А,которое может наступить при появлении одного из несовместных событий Н1,Н2,Н3,Нn( образующих полную группу) равна сумме произведений вероятностей, каждого из этих событий на соответсвующие условные вероятности события А.

Формулы Байеса.

Pa(H1)=(P(H1)*PH1(A))/P(A)

10. Повторные испытания схема Бернулли. На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми. Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом. Схема Бернулли действует для серии однородных, независимых испытаний. В каждом отдельном испытании событие А может произойти с вероятностью Р . Р(А)= Р q=1-Р К≤n формула Бернулли.

11. Предельные теоремы: формула Пуассона.

Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к очень громоздким вычислениям. Поэтому в таких случаях пользуются приближенными формулами (формулой Пуассона, а также формулами, которые выражают содержания локальной и интегральной теорем Лапласа).   Формула Пуассона Если в каждом испытании вероятность p наступления события A постоянна и мала, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что событие A наступит m раз, приближенно равна ,                                        где λ=np. Применение в подобных случаях локальной теоремы Лапласа приводит к неточным значениям вероятностей Pm,n. Для упрощения расчетов при применении формулы Пуассона необходимо пользоваться таблицей значений функций Пуассона:  , которая приводится во всех учебниках(приложениях). Функция Пуассона – функция двух переменных: m и λ=np.