9.2. Формула Эйлера для критической силы
Рассмотрим, сжатый стержень в критическом состоянии, когда сжимающая сила достигла критического значения, т. е. примем, что стержень слегка изогнут (рис. 9.3). Если моменты инерции относительно двух главных центральных осей поперечного сечения не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение. В этом легко убедиться, сжимая гибкую линейку.
Для изучения продольного изгиба и определения критической силы используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
(9.2)
Изгибающий момент относительно центра тяжести сечения в изогнутом состоянии
(9.3)
Рис. 9.3.
Рис. 9.3.
Знак минус берется
потому, что стержень изгибается
выпуклостью вверх, а прогиб
положителен. Если бы стержень изогнулся
выпуклостью вниз, то момент был бы
положительным, но прогибы
были бы отрицательными, и мы снова
получили бы тот же результат.
Обозначая
получаем
(9.4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение, как известно из математики, имеет вид
(9.5)
Здесь С и D постоянные интегрирования, для определения которых используем известные условия на концах стержня: 1) при z = 0, = 0;
2)
при
Из первого условия
получим С=0.
Следовательно, стержень изгибается по
синусоиде
Из второго условия получим
Это соотношение справедливо в двух
случаях.
1-й случай. D=0. Но если С=0 и D=0, то, как следует из уравнения (9.5), прогибы стержня равны нулю, что противоречит исходной предпосылке.
2-й случай,
sinα
=0.
Это условие выполняется, когда
принимает
следующий бесконечный ряд значений:
,
где n
любое целое
число. Отсюда
,
а так как
,
тo
.
Таким образом, получается бесчисленное
множество значений критических сил,
соответствующих различным формам
искривления стержня.
С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при котором происходит потеря устойчивости стержня.
Первый корень n=0 не дает решения задачи. При n=1 получаем наименьшее значение критической силы:
(9.6)
Это и есть формула Эйлера.
Критической силе, определяемой по этой формуле, соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной:
Следующие корни дают большие значения критической силы, мы их рассматривать не будем. Им соответствует изгиб стержня по синусоиде с несколькими полуволнами, который получается в том случае, если изгиб по синусоиде с одной полуволной почему-либо невозможен, например, из-за наличия промежуточных связей.
Следует обратить внимание на то, что постоянная D, следовательно, и форма изогнутой оси стержня остались неопределенными.
Если применить для исследования продольного изгиба не приближенное, а точное дифференциальное уравнение изогнутой оси, то оказывается возможным определить не только значение критической силы, но и зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.