5.11. Определение перемещений методом Мора
Рассмотрим теперь общий метод определения перемещений, пригодный для любой линейно-деформируемой системы при любой нагрузке. Этот метод предложен выдающимся немецким ученым О. Мором.
Пусть, например, требуется определить вертикальное перемещение точки В балки, представленной на рис. 5.13 а. Заданное (грузовое) состояние обозначим f. Выберем вспомогательное состояние той же балки с единичной (безразмерной) силой, действующей в точке В в направлении искомого перемещения. Вспомогательное состояние обозначим k (рис. 5.13 б).
Определим работу внешних и внутренних сил вспомогательного состояния на перемещениях, вызванных действием сил грузового состояния.
Работа внешних
сил равна произведению единичной силы
на искомое перемещение
:
(5.34)
а работа внутренних сил равна интегралу:
(5.35)
Но
или 
(5.36)
a)
б)
Рис. 5.13
Эта формула и есть формула Мора (интеграл Мора), которая дает возможность определить перемещение в любой точке линейно-деформируемой системы.
В этой формуле подынтегральное произведение MkMf положительно, если оба изгибающих момента имеют одинаковый знак, и отрицательно, если Mk и Mf имеют разные знаки.
Если бы мы определяли угловое перемещение в точке В, то в состоянии k следовало бы приложить в точке В момент, равный единице (без размерности).
Обозначая Δ любое перемещение (линейное или угловое), формулу (интеграл) Мора напишем в виде
(5.37)
В общем случае аналитические выражения Mk, Mf, может быть различным на разных участках балки или вообще упругой системы. Поэтому следует пользоваться более общей формулой
(5.38)
Если стержни систем работают на изгиб и растяжение, то следует пользоваться формулой
(5.39)
В частном случае, когда стержни работают только на растяжение или сжатие (фермы), формула для определения перемещений имеет вид
(5.40)
В этой формуле произведение Nk Nf, положительно, если оба усилия растягивающие или сжимающие.
При расчете рам, когда стержни работают одновременно и на изгиб, и на растяжение (сжатие), в обычных случаях, как показывают сравнительные расчеты, перемещения можно определять, учитывая лишь изгибающие моменты, так как влияние продольных сил весьма мало. По тем же соображениям, в обычных случаях можно не учитывать влияния поперечных сил.
Если состояния f и k одинаковы, то получим:
(5.41)
6. Теории прочности
6.1. Назначение гипотез прочности
До сих пор изучались расчеты на прочность в случаях, когда материал находится или в одноосном напряженном состоянии (растяжение, сжатие), или простейшем двухосном, когда главные напряжения в каждой точке равны между собой по значению и противоположны по знаку (сдвиг, кручение).
Составление условий прочности в этих случаях не вызывало затруднений. Для обеспечения прочности материала требовалось, чтобы наибольшее нормальное напряжение (при растяжении, сжатии) или наибольшее касательное напряжение (при кручении) не превосходило соответствующего допускаемого напряжения, значение которого установлено по полученному опытным путем соответствующему пределу текучести или пределу прочности (для хрупких материалов).
На рис.
6.1 изображен
общий случай трехосного напряженного
состояния. Там же показана площадка
действия максимального касательного
напряжения. Напомним, что ранее было
принято следующее правило обозначения
главных напряжений:
(с
учетом знака).
Спрашивается: при
каких значениях напряжений (
)
наступит предельное состояние материала,
т. е. произойдет его разрушение или
возникнут пластические деформации?
Решение этого
вопроса позволило бы решить и другую
задачу: определить безопасные (допускаемые)
значения главных напряжений
Поставленная задача является весьма сложной. Наиболее надежный способ ее решения состоял бы в том, чтобы испытать образец при заданном соотношении главных напряжений до разрушения или до начала текучести и установить таким образом, предельные, а затем допускаемые значения главных напряжений.
Однако этот способ приходится отвергнуть, так как при каждой новой комбинации напряжений пришлось бы снова производить испытания.
Кроме того, такие испытания требуют очень сложных машин и приборов. Необходимо поэтому иметь какую-то гипотезу (теорию), которая позволила бы оценивать опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, не прибегая каждый раз к трудоемким опытам, а используя лишь данные наиболее простых опытов, т. е. опытов с одноосным напряженным состоянием.
Таким образом, построение гипотез прочности основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равноопасными и равнопрочными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений, в одно и то же число, раз одновременно становятся предельными.
Рис. 6.1.
В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряженных состояний при указанных условиях будет одинаковым.