6.2. Первая гипотеза прочности
Первая гипотеза прочности называется также гипотезой наибольших нормальных напряжений, потому что за критерий прочности она принимает наибольшее нормальное напряжение. Сформулирована она может быть следующим образом:
предельное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает значения предельного напряжения при одноосном напряженном состоянии т.е.
(6.1)
где
предельное наибольшего нормального
напряжения;
предельное напряжение при одноосном
сжатии или растяжении.
Прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается, если наибольшее нормальное напряжение не превосходит допускаемого нормального напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния.
Как видим, эта гипотеза учитывает лишь влияние наибольшего главного напряжения, пренебрегая влиянием двух других главных напряжений на прочность материала.
6.3. Вторая и третья гипотезы прочности
Согласно второй гипотезе прочности, называемой также гипотезой наибольших линейных деформаций, в качестве критерия прочности принимается наибольшая линейная деформация.
Поскольку опыты не подтверждают эту теорию, не будем излагать ее подробно и перейдем к изложению широко применяющейся в настоящее время третьей гипотезы.
Согласно третьей гипотезе прочности, называемой также гипотезой наибольших касательных напряжений: прочность материала при сложном напряженном состоянии считается обеспеченной, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния т.е.
(6.2)
При двухосном напряженном состоянии наибольшие касательные напряжения имеют место в сечениях под углом α = 45° к направлению главных напряжений и равны полуразности этих напряжений.
В случае объемного напряженного состояния максимальные касательные напряжения имеют место в плоскости ABCD (см. рис. 6.1):
(6.3)
Допускаемое
касательное напряжение
при одноосном напряженном состоянии
связано с допускаемым нормальным
напряжением
соотношением
,
вытекающим из предыдущей формулы, если
положить в ней
равным
нулю.
Используя формулу (6.3), получим
(6.4)
Выражение представляет собой некоторое напряжение, называемое приведенным или эквивалентным (расчетным).
Его следует понимать как напряжение, которое следует создать в растянутом (или сжатом) образце, чтобы его прочность была одинаковой с прочностью образца, находящегося в условиях сложного напряженного состояния.
6.4. Энергетические гипотезы прочности
Согласно первой из энергетических гипотез прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечивается в том случае, если удельная потенциальная энергия деформации не превосходит допускаемой удельной потенциальной энергии, установленной для одноосного напряженного состояния:
(6.5)
Удельная потенциальная энергия деформации при объемном напряженном состоянии равна
(6.6)
Эта величина всегда положительна. Поэтому энергетическая гипотеза, так же как и третья, не учитывает различия между растяжением и сжатием, другими словами, пользуясь этой гипотезой, приходится принимать
(6.7)
Допускаемая
удельная потенциальная энергия при
одноосном напряженном состоянии при
определяется по формуле:
(6.8)
Подставив значения u и uadm в (6.5), получим
или
(6.9)
Опыты показывают, что лучшие, результаты получаются, если в качестве критерия прочности принимать не всю энергию деформации, а лишь ту ее часть, которая связана с изменением формы тела.
Следовательно, условие прочности по энергетической гипотезе формоизменения (называемой также четвертой гипотезой) имеет вид
(6.10)
В частном случае
для плоского напряженного состояния
=
0 получим:
(6.11)