3.2. Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса, лежащего в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса (рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Полярный момент инерции обозначим

. (3.5)

Единица полярного момента инерции  (ед. длины)⁴.

Полярный момент инерции – величина всегда положительная и не равная нулю.

Так как понятие полярного момента инерции понадобится нам при изучении деформаций кручения круглых валов, то выведем формулы для определения полярных моментов инерции круглого сплошного и кольцевого сечений, принимая за полюс центры этих фигур.

1. Круг диаметром d (рис. 3.2). Выделим бесконечно малую площадку dA в виде кольца шириной d, находящегося на расстоянии  от

полюса (ρ  переменная величина). Тогда Вычислим полярный момент инерции:

(3.6)

2. Кольцо размерами D^.xd:

(3.7)

Полярный момент инерции кольцевого сечения можно вычислить как разность полярных моментов инерции большого и малого кругов.

3.3. Осевой момент инерции

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от них до этой оси (рис. 3.1).

Осевой момент инерции обозначим I с индексом, соответствующим оси:

(3.8)

Очевидно, что осевой и полярный моменты инерции выражаются в одинаковых единицах  (ед. длины).

Осевой момент инерции  величина всегда положительная и не равная нулю.

Рис.3.3.

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат:

(3.9)

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно вычислять как сумму моментов инерции простых фигур, на которые разбивают сложную фигуру. Понятие об осевых моментах инерции понадобится нам в дальнейшем при изучении теории изгиба. Вычислим осевые моменты инерции некоторых простых фигур.

1. Прямоугольник со сторонами в и h (рис. 3.3).

Бесконечно малую площадку dA выделим в виде полоски шириной в и высотой dy, тогда dA = bdy:

(3.10)

Для квадрата со стороной а

2. Круг диаметром d относительно осей x и у. В силу симметрии для круга , так как

то

(3.11)

3. Кольцо размером D х d относительно осей х и у:

(3.12)

3.4. Момент инерции при параллельном переносе осей

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Пусть дана произвольная плоская фигура, площадь которой А, центр тяжести расположен в точке С, а центральный момент инерции относительно оси х будет Ix. Вычислим момент инерции фигуры относительно оси параллельной центральной и отстоящей от нее на расстоянии а (рис. 3.4):

(3.12)

Первое слагаемое правой части есть момент инерции фигуры относительно оси х, т.е. Ix; второе слагаемое содержит статический момент площади относительно оси х, а он равен нулю, так как ось х  центральная; третье слагаемое после интегрирования будет равно а²А.

В результате получим

. (3.13)

Нужно помнить то обстоятельство, что последней формулой можно пользоваться только в тех случаях, когда одна из параллельных осей  центральная.

Анализируя выведенную формулу, можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей момент инерции будет наименьшим относительно центральной оси.

Рис. 3.4

Выведем формулу для вычисления момента инерции прямоугольника относительно оси х_1, проходящей через основание:

(3.14)