Тема 6. Проверка гипотез о форме распределения (критерий Пирсона хи – квадрат)

Сравнение эмпирического распределения с теоретическим. Сравнение двух эмпирических распределений. Сравнение выборок разного объема.

Литература: [1, 2, 5, 6, 8, 12].

Методические указания

Перед изучением данной темы, рекомендуется повторить материал об основах применения статистических критериев и вспомнить понятия: нулевая гипотеза, значимость различия, уровень значимости, критическое значение, односторонний и двухсторонний критерии.

Напомним, что в предыдущей теме был освещен вопрос использования критериев, позволяющих установить совпадение или различие параметров двух распределений: их математических ожиданий и дисперсий. По этой причине эти критерии называют параметрическими. При пользовании параметрическими критериями обычно предполагают, что сравниваемые распределения однотипны и могут различаться лишь значениями своих параметров. Однако во многих практических задачах модель закона распределения заранее неизвестна и возникает проблема выбора модели, согласующейся с результатами наблюдения над случайной величиной. То есть в этом случае приходится проверять гипотезу о самом виде распределения. Это может быть либо гипотеза о том, что данное эмпирическое распределение есть выборочный вариант распределения определенного теоретического вида, либо гипотеза о том, что два эмпирических распределения являются двумя выборочными вариантами одного и того же генерального распределения. Критерии, с помощью которых проверяют эти гипотезы, называют критериями согласия. Наиболее часто употребляют критерий ХИ – квадрат ( ) Пирсона. Следует запомнить, что его применение требует, чтобы выборки были не слишком малы (не менее 20 – 30 вариант). Обычно критерий принимают в качестве меры различия между распределениями. Причем, если в рассматриваемой задаче эта величина окажется "слишком большой", то различие считают значимым. Методы теории вероятности позволяют найти такие критические значения , которые при справедливости нулевой гипотезы ("заданная эмпирическая совокупность является выборкой из генеральной совокупности") могут превышаться не более чем в = 5% случаев или в = 1% случаев. Как обычно, (см. предыдущую тему) нулевая гипотеза отвергается, если > и принимается, если . Напомним, что как и для других критериев, критические значения зависят от числа степеней свободы f. Таблица критических значений (f) можно найти в рекомендованной литературе по математической статистике. Следует понимать, что в формулу для определения входят теоретические частоты распределения. Поэтому особое внимание необходимо обратить на алгоритм их вычисления. Заметим также, что критерий согласия Пирсона можно использовать только в том случае, когда значение теоретических частот в интервале превышает 5. Поэтому ту группу вариант ряда, для которой это условие не выполняется, объединяют с соседней и, соответственно, уменьшают число групп. Так поступают до тех пор, пока для каждого нового интервала значение теоретических частот будет не меньше 5.

Следует иметь в виду, что задача о сравнении двух эмпирических распределений возникает тогда, когда проверяют однородность эмпирического материала: если окажется, что две эмпирические совокупности распределены одинаково, то их можно будет считать выборками из одной и той же генеральной совокупности. В этом случае их можно объединить в выборку большего объема. Это приведет к сужению доверительных интервалов для параметров распределения. Нужно запомнить, что такая проверка особенно важна, когда желают объединить данные, полученные разными авторами или в разных экспериментах. Критерий Пирсона также может быть применим и для сравнения выборок разного объема. Однако в этом случае следует разобраться с методикой определения теоретических частот.

Контрольные вопросы по теме

1. В каком случае приходится проверять гипотезу о самом виде (модели закона) распределения?

2. Как называют критерии, используемые для проверки гипотезы о модели закона распределения?

3. Поясните суть проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

4. В чем различие между эмпирическими и теоретическими частотами?

5. Как находят теоретические частоты?