Тема 5. Выявление различия между параметрами двух нормальных распределений

Понятие статистической значимости различия. Сравнение двух средних значений (критерий Стьюдента). Сравнение дисперсий (F-критерий).

Литература: [1, 2, 5, 12].

Методические указания

Для понимания этого и нижеследующего материала необходимо разобраться с понятием статистической гипотезы, знать основные этапы ее проверки, ориентироваться в используемых при этом понятиях:

• нулевая гипотеза (основная)

• конкурирующая гипотеза (альтернативная),

• ошибки первого и второго рода,

• уровень значимости,

• критические области и критические точки.

Следует понимать, что часто при проведении исследований возникает следующая проблема: как опытная, так и контрольная группы объектов представляют собой выборки из некоторой генеральной совокупности, а поэтому средние значения, дисперсии и другие показатели, вычисленные для этих групп, носят на себе отпечатки выборочного варьирования. Поэтому, например, средние значения в опытной и контрольной группах будут обязательно различными. Так возникает задача: уметь ответить на вопрос, является ли различие между средними значениями опытной и контрольной групп различием между средними значениями двух выборок из одной и той же генеральной совокупности или же оно отражает различие между математическими ожиданиями двух различных генеральных совокупностей.

Следовательно, нужно уметь провести сравнение двух средних значений. Такой же вопрос можно поставить о дисперсиях и других параметрах распределения.

При изучении материала о сравнении двух средних значений с помощью распределения Стьюдента необходимо освежить в памяти следующие разделы математической статистики: нормальное распределение, среднее значение как оценка математического ожидания, характер рассеяния вариант, выборочная оценка дисперсии, стандартные ошибки статистик непрерывного распределения и понятие доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормального распределения.

После повторения указанного материала следует переходить к изучению применения критерия Стьюдента. Однако следует помнить, что критерий Стьюдента применим только тогда, когда распределение вариант в генеральной совокупности близко к нормальному. Если есть опасения, что распределение сильно отличается от нормального, то центры двух эмпирических совокупностей сравнивают при помощи других критериев (например, порядкового критерия Вилкоксона).

Перед изучением материала о сравнении дисперсий, необходимо просмотреть разделы о дисперсии и стандартном отклонении, их выборочных оценках, числе степеней свободы, стандартных ошибках, нулевой гипотезе и критериях значимости – одностороннем и двухстороннем. Следует обратить внимание, что две выборочные совокупности, не различаясь значимо по своим средним значениям, могут различаться по стандартным отклонениям (или дисперсиям). Следует знать, что задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий имеет широкое прикладное значение. Дисперсия, например, характеризует точность работы приборов, технологических процессов и т.д. Убедившись в равенстве двух дисперсий, можно быть уверенным, что два прибора, два технологических процесса обеспечивают одинаковую точность. Заметим, что равенство двух дисперсий при одинаковых выборочных средних производится с помощью F – критерия (критерия Фишера). Суть проверки заключается в сравнении отношения оценок двух дисперсий и с критическим значением . Значения табулированы (обычно для уровня значимости 5% и 1%) и приводятся в справочной литературе по математической статистике.

Контрольные вопросы по теме

1. Что понимают под статистической гипотезой?

2. Объясните понятия: основная и конкурирующая гипотезы.

3. Что понимают под ошибками первого и второго рода?

4. Поясните понятия односторонний и двухсторонний критерии.

5. Что характеризует уровень значимости?

6. С какой целью производят сравнение средних значений и дисперсий двух совокупностей?

7. Какой критерий используют для сравнения двух средних значений?

8. В каких случаях применим критерий Стьюдента?

9. Какой критерий для сравнения двух средних значений используют, если распределение отличается от нормального?

10. Приведите пример, когда необходимо провести сравнение дисперсий распределений.

11. Какой критерий используют для сравнения дисперсий?