18. Особл. Вивчення „перпендикулярність пp. І пл. У про-рі"

Зміст навч. матеріалу цієї теми можна розділити на 3 блоки:

1. пер-лярність пр. у про-рі;

2. пер-лярність пр. і пл.;

3. пер-лярність пл.

Спочатку вв. означ, пер-лярності відповідних об'єктів, потім формулюється і дов. ознака їх пер-лярності.

Для пр. і пл. розгляд, з-ча на побудову пер-ярних пр. і пл., дов. єдиність такої пл. та вл. пер-лярної пр. і пл. Особ. місце і роль у цій темі належать навч. матеріалу, що стосується пер-ляра і похилої до пл. та Т. про три перпендикуляри. Остання застосовується при розв'яз. задач, пов'язаних з многогранниками і тілами обертання. Схема дов. цієї Т. часто послуговуються в з-чах. Тому важливо домогтися того, щоб усі уч. вміли дов. Т. про З перпендикуляри.

У навч. метод, літ-pi відомі 2 види озн. пер-лярних пр. у просторі;

1. дві пр. назв пер-лярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом;

2. дві пр. назв взаємно пер-лярними, якщо кути між ними = 90 градусів.

Друге озн. охоплює і пр, які не перетин, зокрема мимобіжні пр. Відповідно до цього прийнято і 2 види озн. пер-лярних пр. і пл.:

1.пр., що перетинає пл. назв пер-лярною до пл., якщо вона пер-лярна до будь-якої пр, яка лежить в даній пл. і проходить через точку перетину.

2.пр. і пл. назв пер-лярними, якщо пр. пер-лярна до кожної пр., яка лежить у пл

Щодо озн. пер-лярних пл., то в уч, за аналогією з озн. пер-лярних пр. виникає бажання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом.

Однак відразу ж виникає проблема: що розуміти під кутом між пл? У Погорєлова дві пл., що перетинаються, назв пер-лярними, якщо третя пл., яка пер-лярна до пр, перетину цих пл. перетинає їх по пер-лярних пр.

Т., що стверджують ознаки пер-лярності в просторі 2 пр, пр. і пл., 2 пл, можна дов. різними сп. Здебільшого дов. викон. шляхом розгляду парал-мів і ланцюжка рівних Д.

Т. про 2 пер-ляри І Т. про 3 пер-ляри можна було б дов. век-ним методом. У Погорєлова пропонується одна Т. про 3 пер-ляри, до формулювання якої входить пряме і обернене твердження. Тому і в дов. Т. варто виділити дві частини, в яких дов. дост. і необх.

Доцільно звернути увагу уч.на те, що хоча в Т. треба дов. пер-лярність 2 пр. у просторі, скористатися ознакою пер-лярності 2 пр. у просторі тут не можна. Тому дов. піти ін. шляхом, виконавши додаткову побудову і скориставшись вл. пер-лярних пр. і пл., ознакою та означ, пер-лярності пр. І пл.

Під час вв. означ, дов. Т. і розв'яз. з-ч на тему „пер-лярність пр. і пл." треба широко використовувати наочність.

19. „Координати і вектори у просторі".

Ця тема продовжує розвиток на матеріалі стереометрії ідеї корд, і вектор, методів з курсу пла-рії. Особл. теми є те, що багато означ, понять пла-рії без змін «переходять у простір» (перетворення і симетрія фігур, вектор, абсолютна величина в-ра). Без зміни формулюється і низка тверджень, що виражають вл. перетворень і в-рів (вл.  перенесення, Т. про вл. рівних і колінеарних в-рів, скалярного добутку). У зв'язку з цим перед вивч. нов. матеріалу треба повтор, відповідні відомості з пла-рії й організувати с/р уч. з нов.. поняттями і Т. на осн. аналогій. Для забезпечення ефективного повтор, і засвоєння нов. матеріалу доцільно використ. наочні посібники, в яких зіставляються відомості про в-ри на пл. і в просторі. З цією метою можна виготовити табл.., послуговуватися персон, комп., кодо позитивами. При вв. декарт. корд, у прос-рі треба нагадати уч. відомості про корд. т. на пр. і пл. Дов. формули відстані між 2 т. і корд, серед, відрізка в просторі. Після постановки завдання знайти і дов. формулу відстані між 2 т. А₁(х₁; у₁; z₁) і А₂(х₂; у₂; z₂) у просторі і корд, серед, відрізка АВ уч. можуть висловити гіпотезу: за аналогією з відповідними формулами пла-рії вони мають вигляд

Дов, формули відстані між 2 т.викликає значні труднощі в уч. на етапі обгрунтування побудови прямокутного  в просторі, до того ж такого обгрунтування в підручнику немає. Тому доцільно організувати колективний пошук дов.

Можна запропонувати уч. дов. формули корд, серед, відрізка у про-рі сам. за підруч. при виконанні д/з, а на наступ. уроці перевір, засвоєння матеріалу Розв'яз. стерео-них з-ч корд, методом,

Після повтор, правила-оріштир можна проілюструвати застосування корд, методу в сте-рії Пр. розв'яз. такої з-чі.

Задача. У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним кутом при основі . Знаючи, що пл. сфери = S, знайти пл. основи піраміди.

Перед вивч. теми „Вектори в сте-рії" треба запропонувати уч. повтор, за підруч. навч, матеріал, що стосується в-рів на пл., зокрема пригадати: означ, в-ра, його модуля, рівних ве-рів, корд, в-ра, вл. рівних в-рів, заданих корд., правила знаходження суми, різниці двох в-рів, добутку в-ра на число, формулювання в-рної рів-ті, означ, скаляр, добутку і його вл. через модулі і кут між ними.

Розв'яз. сте-ричних з-ч в-ним методом. Треба запропонувати уч. пригадати правило-орієнтир і алгоритм розв'яз., записані заздалегідь на таблиці.

Задача. Дов., що коли дві пари мимобіжних ребер тетраедра взаємно перпендикулярні, то й ребра третьої пари також взаємно перпендикулярні.

Доведення. Застосуємо до точок А, В, С, S в-рну рівність для чотирьох точок. Оскільки ASBC, то Через те, що SCAB, маємо Звідси ,a. це означ., що CASB

У старшій шк. доцільно пропонувати уч. поряд із стере-чними з-чами, які доцільно розв'язувати в-рним методом, і планіметричні.

20. Особливості вивчення теми «Многогранники». Провідна роль многогранників визначається передусім тим, що багато результатів, що стосуються інших тіл, одержуються з відповідних результатів для многогранників. Наприклад, означення об'ємів і площ поверхонь многогранників. Одним з методів вивчення тіл І поверхонь загального вигляду у вищій геометрії є наближення їх многогранниками. Многогранники виділяються серед інших тіл багатьма цікавими властивостями, теоремами і задачами, що їх стосуються.

Загальноосвітнє значення вивчення цієї теми визначається ще тим, що вона дає багатий матеріал для розвитку того, поєднання живого просторового уявлення зі строгою логікою, яке становить суть геометрії. Наприклад, факт перетину діагоналей паралелепіпеда в одній точці вимагає підсилення уяви, щоб це побачити наочно, і водночас потребує строгого доведення.

Основна мета вивчення-спираючись на уявлення і знання про многогранники, одержані при вивченні матем., креслення і в життєвому досвіді, ввести означення многогранника і його видів, вивчити їх властивості і застосовувати при розв'язанні задач, далі розвивати просторові уявлення й уяву, логічні, графічні і обчислювальні вміння. Учні повинні знати...(в прогам-мі). Доцільно звернути увагу на те, що в стереометрії фігурами, аналогічними многокутникам, є многогранники. Елементи многокутників є вершини, сторони, кути. Варто пригадати озн. кута, плоского кута, звернути увагу на те, що існують два плоскі кути з даними сторонами. Вони називаються доповнювальними. Елементами многогранників є вершини, грані, двогранні, тригранні або многогранні кути. Отже, виникає потреба з’ясувати, що таке двогранні, тригранні і многогранний кут. Можна запропонувати учням прочитати самостійно. У навчальній літ багато зустрічається означень многогранника.

Озн.1. Об'єднання обмеженої просторової області і її межі називають тілом. Межу тіла інакше називають його поверхнею, а просторову область тіла-його внутрішньою областю.

Озн.2. Многогранником називають тіло, поверхнею якого є об'єднання скінченої кількості многокутників,

У підручнику Погорєлова: Многогран.– це таке тіло, поверхня якого складається зі скінченої кількості плоских многокутників. Многок. наз. опуклим, якщо він розміщений по один бік від площини кожного плоского многокутника та його поверхні. Спільна частина такої площини і поверхні опуклого многогранника наз гранню. Грані опуклого многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней наз ребрами многогранника, а вершини-вершинами многогранника.

Перш ніж вводити на уроці означення многогранника, треба повторити означення плоского многокутника, опуклого многокутника, оскільки їх використання і аналогія в останньому означенні з опуклим многогранником сприятиме кращому засвоєнню нових понять.

Досвід показує, що запровадження означень прямої призми, паралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, піраміди, зрізаної піраміди не викликає труднощів у учнів. Треба звернути їх увагу на використання многогранників у довколишньому житті. Усі нові поняття треба конкретизувати на моделях. Виконувати зображення піраміди зручно в такій послідовності: 1.на площині зображується деякий многокутник. 2.поза многокутником, вгорі, вибирають довільну точку S і з'єднують її з вершинами основи, суцільними відрізками-ті, які видно, і штриховими лініями-ті, які не видно. 3. з'єднати вершину піраміди з вершинами основи.

Метод внутрішнього проектування(метод відповідності) і метод слідів при внутрішньому і центральному проектуванні.