11. Вивч. Теми «Похідна та її застосув»

З істор. розвитку мат. ан. відомо, що до відкриття похідної прийшли незалежно Г.Лейбніц і І.Ньютон, перший - розв'язуючи геом, з-чу про знаходження положення дотичн. до кривої у певній т., а другий - розв'язуючи з-чу механіки про визнач, миттєвої шв. У шк. курсі через обмеженість часу докладно розглядають одну з цих з-ч. Перевагу слід віддати з-чі про миттєву шв., оскільки з нею учні вже ознайомились на фізики. В процесі розв'язування варто виділити 4 кроки, які розкривають зміст похід, і які доцільно виконувати надалі при вивченні формул і дов-ня основних Т- про похідні.

Щоб учні неформально сприйняли означ, миттєвої шв., варто на конкретній з-чі з числовими даними показати, ідо значення cр. шв. прямує до певної границі, яку природно вважати числовим значенням шв. в даний момент часу t₀, тобто значенням миттєвої швидкості. Задача. Знайти шв.тіла, що вільно падає, в час t₀= 4с, що минув від поч. руху.

Узагальнюючи спосіб розв'язування згаданих з-ч, приходять до поняття похід. Нехай функція у=f(х) задана на деякому (а;b) і х₀ - т. з (а;b) Виконаємо 4 кроки, які виконувались при розв'язуванні задачі про миттєву швидкість:

1. надаємо знач, х₀ довільного приросту  х (число x може бути як додатним, так і від'ємним), але число х₀ + х з (а, b);

2.обчислимо в точці х₀ приріст функції

3. складемо відношення

4. знайдемо lim цього віднош. при x0.Якщо така границя існує, то її назв похідною ф-ції f(х) в т. х₀ і позначають у'.

О. Похідною функції у=f(х) в т. х₀ назв, границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що х0, а границя існує.

Заув., що перш ніж вводити поняття похід., варто привчити учнів до трьох різних символів, що стосуються приросту ф-ції і відношень її до приросту аргументу. Кроки 1-4 фактично задають правило відшукання похідної.

Для глибокого усвідомлення уч. означ, похід, доцільно зразу з'ясувати її механ. і геом. зміст. Механ. зміст похід, випливає з розглянутої з-чі про миттєву шв. Учні самі здатні зробити висновок, що похід, = миттєвій шв. нерівномірного руху. Цим самим з'ясовується механ. зміст похід. Геом. зміст - із з-чі про дотич, до кривої у певній т.; похідна в т. х₀ = tg кута нахилу дотич. до кривої з додатним напрям, осі x у т. з абсцисою х₀

Основні Т. про похідні: 1) про неперервність диференц. в т. ф-ції 2) про похід, суми, добутку і частки двох функцій; 3) про похідну степеневої і складної ф-ції.

Відомі різноманітні застосування похідної. В алгеб. застосування до дослідж. і побудови графіків, а в геом. для знаходження рів-ня дотич. Похід, використовується в наближених обчисленнях, для наближ. розв'язування рів-нь, дослідж. і відокремл. коренів рів-нь, спрощення виразів, дов-ня тотожн. і нерівностей, знаходження біноміальних коеф. і дов-ня формули бінома Ньютона.

У шк, курсі алгеб, і поч. ан. на рівні обов'язкових результатів навчання, доводиться обмежитись застосуванням похідн, до дослідження ф-цій і побудови графіків, а саме: 1) на моно-сть; 2) екстремум; 3) досягнення найб. І найм. знач.

Але на гуртках та факультативах, в класах з поглибленим вивченням матем. слід ознайомити учнів з ін. важливими застосуваннями похідної.

Зокрема, застосування похід, до наближених обчислень ефективніше здійснюється за ум. попереднього введення поняття диференціала ф-ції. Застосування похід, до виведення формули бінома Ньютона одночасно ознайомлює уч, з методом невизначених коеф., який широко використовується в алгеб. і мат. ан.