3. Задачі і вправи

Задачі та вправи

для самостійної роботи

та роботи в аудиторії

1. Намалюйте фігуру на площині, яку задано рівнянням:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10)*

11)*

12)*

Приклад.

Розв’язання. За означенням модуля, маємо:

І четверть координатної площини

ІІ четверть координатної площини

ІІІ четверть координатної площини

ІV четверть координатної площини

Загальний рисунок:

2. Визначте вид кривої, яку задано рівнянням:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8)*

9. 

10. 

11. 

Приклад. .

Розв’язання.

A

Геометричний образ – одиничне коло з центром у початку координат. Початок руху у точці , напрям руху за годинниковою стрілкою.

3. Параметризуйте дану криву:

1. 

2. 

3. ;

4. 

5. 

6. 

Приклад.

Розв’язання. – нормальний вектор прямої, тому – напрямний вектор цієї прямої. належить прямій.

Параметричне рівняння цієї прямої:

4. Складіть рівняння:

1. прямої на площині, що проходить через точку перпендикулярно до вектора

2. площини, що проходить через точку паралельно вектору

3. площини, що проходить через точку паралельно векторам і ;

4. площини, що проходить через точки , , ;

5. фігури, що складається з точок площини, сума квадратів відстаней від яких до даних двох точок A і B є сталою;

6. фігури, що складається з точок площини, відстань від яких до точки A вдвічі більше, ніж до точки B;

7. об’єднання фігур і , якщо фігура задана рівнянням , а – рівнянням

8. перетин фігур і , заданих відповідно рівняннями і

9. множини точок площини, рівновіддалених від точки та прямої ;

10. еліпса, у якого фокуси мають координати , а більша вісь дорівнює 2.

Приклад. Складіть рівняння фігури, що складається з точок площини, сума квадратів відстаней від яких до даних двох точок A і B є сталою.

M(x,y)

y

Р озв’язання. Виберемо систему координат таким чином, щоб точки A і B лежали на координатній осі ОХ, симетрично відносно початку координат. Тоді Нехай належить шуканому геометричному місцю точок площини, тоді

A(a,0)

B(-a,0)

x

.

Якщо то шукана фігура – коло з центром в точці (0,0) та радіусом .

Якщо то отримали точку з координатами (0,0).

Якщо то на дійсній площині такої фігури не існує.

5. Складіть параметричне рівняння траєкторії точки M, якщо:

1. точка рівномірно обертається навколо вісі Z і рівномірно рухається паралельно їй (гвинтова лінія);

2. точка M рухається з точки рівномірно і прямолінійно зі швидкістю ;

3. точка M є серединою відрізка довжиною l, кінці якого вільно ковзають уздовж прямого кута;

4. матеріальна точка M кинута з Землі під кутом з початковою швидкістю і рухається під дією сили тяжіння;

5. точка M рівномірно рухається по прямій ОN, яка рівномірно обертається навколо точки O;

6. точка M знаходиться на колі радіусу R, яке рівномірно котиться по прямій без ковзання (циклоїда).

П риклад. Складіть параметричне рівняння траєкторії точки M, якщо матеріальна точка M кинута з Землі під кутом з початковою швидкістю і рухається під дією сили тяжіння.

М

Розв’язання. Виберемо систему координат так, щоб початок руху матеріальної точки М співпадав з початком системи координат. Матеріальна точка, кинута під кутом до горизонту, рухається по параболі

6. Доведіть рівність:

1. (за допомогою означення похідної вектор-функції);

2. ;

3. , тоді і тільки тоді, коли

4. 

5. 

7. Побудуйте на площині криву, яку задано рівнянням:

1. 3)

2. 4) .

8. Задано криву

Чи лежать на її образі точки М (-1,-1), N (4,2), Р (1,2)? Знайдіть точки перетину образа кривої з координатними осями. Запишіть неявне рівняння образа кривої.

9. Побудуйте образи таких кривих:

1. 5)

2. 6)

3. 7)*

4. ; 8)

Приклад. .

Розв’язання.

Треба від параметричного завдання кривої перейти до завдання виду

– ця пряма, або частина прямої

- графіком цієї функції є парабола з вершиною в точці (1,2), тому

- це теж парабола з вершиною в точці (1,0). . Тому образом цієї кривої є промінь.

10. Покажіть, що рівняння

і

є параметризацією однієї лінії. Зробіть рисунок цієї лінії.

11. Укажіть, які лінії задаються в полярних координатах рівнянням:

1)

2)

4)

6)

8)*

10)*

Приклад.

Р озв’язання. – рівняння кола радіуса 4. Для будь-якого кута , полярний радіус дорівнює 4.

б)

Розв’язання. Перейдемо до прямокутної системи координат

Отримаємо рівняння: - це еліпс.

12. Побудуйте геометричні образи даних кривих і знайдіть відповідні параметризації:

1. 4)

2. 5)

3. 

Приклад.

Розв’язання.

-а

Декартів лист.

-а

13. Знайдіть похідні функцій однієї дійсної змінної t:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Приклад.

Розв’язання. .

14. Для вектор-функції знайдіть значення , при якому відображення переводить число 2 у вектор (4, 8, 2).

15. Чи можна стверджувати, що для вектор-функції має місце рівність:

а)

ЗАНЯТТЯ ІІ. РЕГУЛЯРНІ КРИВІ. ДОТИЧНІ ДО КРИВОЇ