Індивідуальне завдання 1
Дослідіть криву .
Вкажіть природну область визначення кривої.
Чи є крива регулярною? Вкажіть особливі точки кривої, якщо вони є.
За допомогою заміни параметра або перетворення системи координат спростіть рівняння кривої, якщо це можливо.
Знайдіть або оцініть довжину заданої кривої або її будь-якого куска.
Чи є параметр на кривій натуральним? Перейдіть до натуральної параметризації, якщо це можливо.
Складіть рівняння дотичної, головної нормалі, бінормалі, стичної, нормальної та спрямної площин в точці кривої, яка відповідає
( обрати самостійно).
Обчисліть кривину та скрут кривої.
Перевірте, чи є крива:
а) прямою;
б) колом;
в) плоскою кривою;
г) гвинтовою лінією?
Варіанти для виконання індивідуального завдання 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Приклад виконання варіанта індивідуального завдання Дослідіть криву
«Природна» область визначення кривої
.
2. Регулярність:
а)
;
б)
.
Висновок:
крива регулярна на всій області
визначення, порядок регулярності
.
3. Спростимо рівняння кривої шляхом паралельного перенесення:
У результаті отримаємо рівняння кривої:
.
4. Знайдемо та оцінимо довжину куска заданої кривої:
.
5. Чи є параметр на кривій натуральним?
,
звідси,
t
– не
є натуральним параметром.
Переходи до натурального параметра ускладнені.
6. Складемо рівняння елементів тригранника Френе у точці (2;1;0),
тобто при t=0.
;
;
;
.
-
рівняння
дотичної;
-
рівняння
бінормалі;
-
рівняння
головної нормалі.
-
стична
площина;
-
нормальна
площина;
;
-
спрямна
площина.
7. Обчислимо кривину та скрут кривої за формулами:
;
.
;
;
;
.
.
-
кривизна
кривої.
.
.
-
скрут
кривої.
8. Використаємо класифікацію кривих. За допомогою основної теореми теорії кривих і геометричних властивостей кривини та скруту легко показати, що задана крива є лінією відкосу.
Демонстраційні варіанти модульної контрольної роботи до розділу «Теорія кривих»
Варіант 1.
1. Який геометричний зміст модуля кривини кривої?
А) міра її відхилення від дотичної;
Б) міра її відхилення від стичної площини;
В) число, обернене до радіуса кривини;
Г) інше.
2. Чи змінюється при регулярній заміні параметризації регулярної кривої вектор прискорення?
А) не змінюється;
Б) може змінитися напрям;
В) може змінитися його модуль;
Г) можуть змінитися і напрям, і модуль.
3.
Рівняння
кривої має вигляд
,
де
сталі
не колінеарні вектори. Ця крива:
А) коло;
Б) парабола;
В) має нульовий скрут;
Г) має ненульовий скрут.
4.
Крива
визначена вектор-функцією
– натуральний
параметр.
Чому
дорівнює
?
А) 2;
Б) 0;
В) 1;
Г) -1.
Кривина та скрут кривої дорівнюють відповідно
.
Крива
може бути:
А) колом;
Б) гвинтовою лінією;
В) лінією відкосу;
Г) кривою Бертрана.
6.
Довжина
кривої
А)
;
Б)
;
В)
;
Г) нескінченна.
7.
Крива
з натуральним рівнянням
є:
А) колом радіуса 2;
Б) гвинтовою лінією;
В)
колом
радіуса
;
Г) прямою.
8.
Для
гіперболи
параметричними
рівняннями є:
А)
Б)
В)
Г)
Дослідіть криву
:
а) вкажіть природну область визначення кривої;
б) чи є крива регулярною? Вкажіть особливі точки кривої, якщо вони є;
в) спростіть рівняння кривої за допомогою заміни параметра або перетворення системи координат, якщо це можливо;
г) знайдіть або оцініть довжину даної кривої чи якогось її куска;
д) чи є параметр на кривій натуральним? Перейдіть до натурального параметра;
е) складіть рівняння елементів тригранника Френе у точці (точку обрати самостійно);
ж) обчисліть кривину та скрут кривої.
Варіант 2.
Вектор-функції
та скалярна
функція
є диференційованими.
Яке
з
тверджень є
невірним?
А)
;
Б)
;
В)
;
Г)
Який фізичний зміст має параметр у рівнянні
А)
прискорення
руху вздовж
Б) обертальна швидкість;
В) швидкість обертання;
Г)
швидкість руху вздовж
Напрямній вектор головної нормалі у довільній точці бірегулярної кривої колінеарний вектору
А)
Б)
В)
Г)
Нормальний вектор дотичної площини у довільній точці бірегулярної кривої є колінеарним вектору:
А)
Б)
В)
Г)
Кривина параболи
приймає найбільше значення у точці
А)
Б)
В)
Г)
Точка рухається вздовж гвинтової лінії
Її
проекція на
вісь
рухається
зі швидкістю
Параметр
дорівнює
А) 24;
Б) 12;
В) 4;
Г) 15.
Крива з натуральними рівняннями
є
А) колом;
Б) гвинтовою лінією;
В) лінією відкосу;
Г) кривою Бертрана.
Для кривої
точка
є
А) звичайною;
Б) точкою звороту 1-го роду;
В) точкою зворотна 2-го роду;
Г) точкою екстремуму.
Дослідіть криву
:
а) вкажіть природну область визначення кривої;
б) чи є крива регулярною? Вкажіть особливі точки кривої, якщо вони є;
в) спростіть рівняння кривої за допомогою заміни параметра або перетворення системи координат, якщо це можливо;
г) знайдіть або оцініть довжину даної кривої чи якогось її куска;
д) чи є параметр на кривій натуральним? Перейдіть до натурального параметра;
е) складіть рівняння елементів тригранника Френе у точці (точку обрати самостійно);
ж) обчисліть кривину та скрут кривої.
Варіант 3.
Точка рухається вздовж гвинтової лінії
Її проекція на вісь
рухається зі швидкістю
Параметр
дорівнює
А)
;
Б)
;
В) 5;
Г) 15.
Який геометричний зміст має вектор
якщо
а
А) вектор швидкості;
Б) дотичний вектор;
В) вектор прискорення;
Г) вектор головної нормалі.
Крива
є дзеркальним відображенням кривої
Як співвідносяться
їх кривини у відповідних точках для
просторових кривих?
А) однакові;
Б)
В) відрізняються тільки знаком;
Г) інше.
Нормальний вектор спрямної площини у довільній точці бірегулярної кривої є колінеарним вектору:
А)
Б)
В)
Г)
Кривина еліпса
приймає найбільше значення у точці
А)
Б)
В)
Г)
Точка рухається вздовж гвинтової лінії
Її проекція на площину
робить за одиницю часу 16 обертів.
Параметр
дорівнює
А) 4;
Б) 8;
В) 16;
Г) 32.
Крива з натуральними рівняннями
є
А) колом;
Б) гвинтовою лінією;
В) косим колом;
Г) прямою.
Для відрізка прямої параметричними рівняннями є
А) ;
Б) ,
В)
Г) , ,
Дотична кривої.
Дослідіть криву
а) вкажіть природну область визначення кривої;
б) чи є крива регулярною? Вкажіть особливі точки кривої, якщо вони є;
в) спростіть рівняння кривої за допомогою заміни параметра або перетворення системи координат, якщо це можливо;
г) знайдіть або оцініть довжину даної кривої чи якогось її куска;
д) чи є параметр на кривій натуральним? Перейдіть до натурального параметра;
е) складіть рівняння елементів тригранника Френе у точці (точку обрати самостійно);
ж) обчисліть кривину та скрут кривої.
