МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Н. В.Коваленко, О. В. Мазнєв

Практикум з диференціальної геометрії

Навчально-методичний посібник для студентів математичних спеціальностей педагогічних і класичних університетів

Донецьк

2013

УДК 514.7.

Навчально-методичний посібник для студентів математичних спеціальностей педагогічних і класичних університетів «Практикум з диференціальної геометрії» : автори Н. В. Коваленко, О. В. Мазнєв. – Донецьк : ДонНУ, 2013. – 155 с.

Видання містить матеріал для організації аудиторних практичних занять і самостійної роботи студентів класичних і педагогічних університетів з диференціальної геометрії.

Автори: Н. В. Коваленко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

О. В. Мазнєв, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний

за випуск: Н. В. Коваленко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Рецензенти: Н. А. Тарасенкова, докт. пед. наук, проф.

Г. В. Горр, докт. фіз.-мат. наук, проф.

П. О. Стеблянко, докт. фіз.-мат. наук, проф.

© Коваленко Н. В. Мазнєв О. В., 2013

© ДонНУ, 2013

ЗМІСТ

Передмова……………………………………………………………………………...…..….…..5

РОЗДІЛ 1. ТЕОРІЯ КРИВИХ

Вхідний тест.......…………………………………………………………………………..…..…..8

Заняття І. Поняття кривої та способи її завдання. Вектор-функція скалярного аргументу……………………….……………..………………………………………………....13

1.1 Складаємо опорний конспект……………………………………….….…..13

1.2 Контрольні питання…………………………………………………………16

1.3 Задачі і вправи…………………………………………………..…………...18

Заняття ІІ. Регулярні криві. Дотичні до кривої………………………………..……………...30

2.1 Складаємо опорний конспект…………………………...…………….……30

2.2 Контрольні питання……………………………………………………...….33

2.3 Задачі і вправи…………………………………………………….………....34

Заняття ІІІ. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація кривої. Базис Френе……………………..…….…..................................................................................................37

3.1 Складаємо опорний конспект…………………………...………….……....37

3.2 Контрольні питання……………………………………………….……..….38

3.3 Задачі і вправи………………………………………………….……….…...39

Заняття ІV. Кривина та скрут кривої. Формули Френе…………………………...…….…..44

4.1 Складаємо опорний конспект…………………...…………………….……44

4.2 Контрольні питання…………………………………………………………46

4.3 Задачі і вправи…………………………………………………….…………48

Заняття V. Основна теорема кривих. Класифікація кривих…………………………...…….53

5.1 Складаємо опорний конспект……………………………..………………..53

5.2 Контрольні питання…………………………………………………….…....54

5.3 Задачі і вправи………………………………………………………..……....55

Заняття VI–VII. Плоскі криві………………………………………………………..………….58

6.1 Складаємо опорний конспект……………………………………………….58

6.2 Контрольні питання……………………………………………….………….60

6.3 Задачі і вправи……………………………………………….……………….62

Індивідуальне завдання 1. Варіанти для виконання індивідуального завдання 1….……64

Приклад виконання варіанта індивідуального завдання…………………………….……..65

Демонстраційні варіанти модульної контрольної роботи до розділу «Теорія кривих»…70

Зведення чудових кривих…………………………………..…….................................................77

РОЗДІЛ 2. ТЕОРІЯ ПОВЕРХОНЬ

Вхідний тест.......…………………………………………………………………………..……..83

Заняття І. Поняття поверхні. Способи завдання поверхонь…………….……………..……86

1.1 Складаємо опорний конспект……………………………………….….…..86

1.2 Контрольні питання………………………………………………………….89

1.3 Задачі і вправи…………………………………………………..……………90

Заняття ІІ. Регулярні поверхні……………….……………………………..…………………..94

2.1 Складаємо опорний конспект…………………………...…………….……94

2.2 Контрольні питання……………………………………………………....….95

2.3 Задачі і вправи…………………………………………………….……….…97

Заняття ІІІ. Метрика на поверхні………………………….…………………..…….…............101

3.1 Складаємо опорний конспект…………………………...………….………101

3.2 Контрольні питання……………………………………………….……..….103

3.3 Задачі і вправи………………………………………………….……….…...105

Заняття ІV – V. Викривленість поверхні……………………………...…………...…….…….114

4.1 Складаємо опорний конспект…………………...…………………….……114

4.2 Контрольні питання…………………………………………………………117

4.3 Задачі і вправи…………………………………………………….…………119

Заняття VI. Класифікація поверхонь……………………………………..……..………….....128

6.1 Складаємо опорний конспект…………………………………………….….128

6.2 Контрольні питання……………………………………………….…………129

6.3 Задачі і вправи……………………………………………….………………131

Заняття VIІ. Геодезичні лінії на поверхні……………………………………...…………......134

7.1 Складаємо опорний конспект…………………………………………….…..134

7.2 Контрольні питання……………………………………………….…………135

7.3 Задачі і вправи……………………………………………….………………137

Індивідуальне завдання 2. Варіанти для виконання індивідуального завдання 2……….…141

Приклад виконання варіанта індивідуального завдання…………………………….……..144

Демонстраційні варіанти модульної контрольної роботи до розділу «Теорія кривих»…149

Демонстраційний варіант екзаменаційної роботи…………………………………................150

Зведення поверхонь…………………………………………………………….……..…….......151

Список рекомендованої літератури……………………………….…………………………...154

Передмова

Загальний курс “Диференціальна геометрія і топологія” призначений для вивчення фігур і їх взаємних перетворень. Диференціальна геометрія – та частина геометрії, для якої основним апаратом є апарат диференціального числення. В ній інтегруються знання, отримані студентами в курсах алгебри, аналітичної геометрії, математичного аналізу та диференціальних рівнянь. Методи диференціальної геометрії знаходять величезну кількість додатків у різних областях прикладної математики, теорії поля, механіки, оптики та ін.

Курс “Диференціальна геометрія і топологія” складається з трьох розділів: «Теорія кривих», «Теорія поверхонь», «Топологія».

Цей навчально-методичний посібник присвячено розділам «Теорія кривих» та «Теорія поверхонь».

Мета курсу «Диференційна геометрія» – вивчення кривих та поверхонь за допомогою дослідження їх локальних властивостей і класифікація на основі інваріантів.

Студенти повинні знати: засоби завдання кривих та поверхонь, теореми про представлення кривої та поверхні в околі звичайної точки, основині теореми теорії, поняття репера Френе, формули Френе, класифікацію кривих та поверхонь на основі інваріантів, типи особливих точок плоских аналітичних кривих, еволюту та евольвенти плоских кривих, основну теорему теорії поверхонь (т. Бонне), першу та другу квадратичні форми на поверхні, поняття нормальної та геодезичної кривини у даний точці поверхні, теореми про геодезичних, теореми про ізометричні поверхні, властивості поверхонь з сталою повною кривиною.

Студенти повинні вміти: задавати криву неявно та параметрично, знаходити довжини кривих і переходити до натуральної параметризації кривої, обчислювати кривину та скрут просторової кривої, визначати рівняння репера Френе, досліджувати центри стичного кола та стичної сфери просторової кривої, задавати поверхню неявно та параметрично, обчислювати першу та другу квадратичні форми поверхонь, знаходити нормальну та геодезичні кривини кривої на поверхні, визначать головні напрямки та головні кривини поверхні, проводити класифікацію типів точок на поверхні, визначать геодезичні лінії на поверхні, проводити класифікацію поверхонь, на основі інваріантів, досліджувати властивості ізометричності поверхонь, будувати поверхню локально.

Шановний студенте! З цим посібником Ви працюватимете на практичному занятті в аудиторії і вдома, виконуючи самостійну роботу і готуючись до занять в аудиторії. Він буде надійним помічником у засвоєнні нового матеріалу, його закріпленні і систематизації, а також при підготовці до виконання контрольних, модульних та індивідуальних робіт і складання іспиту.

Кожний розділ містить вхідний тест, сім практичних занять, індивідуальне завдання, приклади його виконання та демонстраційний варіант модульної контрольної роботи. Кожне практичне заняття складається з трьох компонентів:

1. Складаємо опорний конспект (необхідно заповнити пропуски, користуючись лекційним матеріалом і рекомендованою літературою)

2. Контрольні питання (необхідно записати відповіді на питання у наявні пропуски)

3. Задачі і вправи (необхідно розв’язувати задачі та виконувати вправи в аудиторії та самостійно. Найбільш складні задачі позначені зірочкою).

ПРОГРАМА

РОЗДІЛ 1. ТЕОРІЯ КРИВИХ

1. Поняття кривої та способи її завдання. Вектор-функція скалярного

аргументу

2. Регулярні криві. Дотичні до кривої

3. Довжина дуги кривої. Натуральна параметризація кривої. Базис Френе

4. Кривина та скрут кривої. Формули Френе

5. Основна теорема кривих. Класифікація кривих

6,7. Плоскі криві

РОЗДІЛ 2. ТЕОРІЯ ПОВЕРХОНЬ

1. Поняття поверхні. Способи завдання поверхонь

2. Регулярні поверхні

3. Метрика на поверхні

4,5. Скривленість поверхні

6. Класифікація поверхонь

7. Геодезичні лінії на поверхні

РОЗДІЛ 1. ТЕОРІЯ КРИВИХ