Лабораторная работа №15 (часть 2). Вынужденные колебания в rlc-контуре.

3. Краткая теория

Установившиеся колебания в электрической цепи под действием гармонического напряжения от генератора вида V cos t называются вынужденными колебаниями. Эти колебания всегда происходят на частоте  генератора.

Если внешнее гармоническое напряжение включено в RLC контур, то амплитуда вынужденных колебаний в контуре (например, амплитуда напряжения на конденсаторе) сильно зависит от соотношения между частотой  генератора и собственной частотой колебательного контура. При  = ₀ наступает резонанс - отношение амплитуды вынужденных колебаний к амплитуде внешнего генератора становится максимальным. Графическая зависимость этого отношения от частоты внешнего генератора называется резонансной кривой. При увеличении активного сопротивления контура, т.е. при увеличении энергетических потерь, резонансная кривая становится менее "острой".

Между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе имеется фазовый сдвиг, зависящий от соотношения между и ₀. При резонансе фазовый сдвиг становится равным 90^o.

Соотношение между амплитудами напряжений и токов и их фазами при вынужденных колебаниях удобно анализировать с помощью векторных диаграмм. Так принято называть графическое изображение гармонических колебаний с помощью векторов. Два (или несколько) гармонических колебания, частота которых известна и равна частоте генератора , изображаются на диаграмме с помощью векторов, длины которых равны амплитудам колебаний, а угол между векторами равен фазовому сдвигу. Так вектор, изображающий напряжение на катушке индуктивности, должен быть повернут на угол 90^o против часовой стрелки по отношению к вектору, изображающему ток в катушке. Говорят, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол 90^o. Для конденсатора, наоборот, ток опережает напряжение на угол 90^o. В замкнутой цепи векторная сумма всех напряжений на последовательно включенных элементах должна совпадать с вектором, изображающим напряжение внешнего генератора.

В последовательном RLC контуре при резонансе амплитуды напряжений V_C и V_L на конденсаторе и катушке индуктивности одинаковы, а фазовый сдвиг между ними равен 180^o. Поэтому вектор входного напряжения совпадает на диаграмме с вектором напряжения на активном сопротивлении.

Ток и напряжение связаны друг с другом выражением

.

По аналогии с законом Ома выражение

называют сопротивлением цепи для переменного тока. Здесь R - активное (омическое) сопротивление цепи; оно равно сопротивлению цепи для постоянного тока. Величина (L + 1/C) называется реактивным сопротивлением цепи для переменного тока. С увеличением частоты растет сопротивление индуктивности X_L= L (всё большее препятствие оказывает самоиндукция) и уменьшается сопротивление емкости X_C=1/C.

Фазовый угол, на который колебания тока в цепи отстают от колебаний напряжения, определяется формулой

.

2. Изучение вынужденных колебаний в rlc-контуре Контрольное задание 2

Теперь вам необходимо выполнить указанный преподавателем вариант задания из следующего списка. Полученные результаты необходимо занести в лабораторную тетрадь.

Вариант 1.

Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 100 мкФ, катушки с индуктивностью L = 3 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 0,9 Ом, подключили к переменному напряжению V cos t в момент t = 0.

Найти для амплитуды V = 20 В и частоты  = 1500 1/с напряжения:

1) амплитуду напряжения на конденсаторе V_C;

2) значения сопротивлений катушки индуктивности X_L и конденсатора X_C;

3) векторную диаграмму напряжений.

Вариант 2.

Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора емкости C = 50 мкФ, катушки с индуктивностью L = 2,5 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 1,2 Ом, подсоединили к переменному напряжению V cos t частоты  и амплитуды V = 110 В. При этом значение амплитуды установившегося напряжения на конденсаторе V_C = 220 В. Найти:

1) значение частоты  переменного напряжения;

2) значения сопротивлений катушки индуктивности X_L и конденсатора X_C;

3) векторную диаграмму напряжений.

Вариант 3.

Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 8,2 мкФ, катушки с индуктивностью L (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 1 Ом, подключена к источнику переменной ЭДС V cos t. Индуктивность катушки L подобрана так, что на частоте = 1500 1/с сопротивление индуктивности X_L = 4,2 Ом. Найти индуктивность L и векторную диаграмму напряжений на частоте .

Вариант 4.

Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 50 мкФ, катушки с индуктивностью L = 1,5 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 0,9 Ом подключена к сети переменного напряжения V cos t с амплитудой V = 50 В и частотой вынужденных колебаний  = 2500 1/с.

Найти:

1) значение амплитуды V_C напряжения на конденсаторе;

2) значения сопротивлений конденсатора X_C и катушки индуктивности X_L;

3) векторную диаграмму напряжений.

Вариант 5.

Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 83 мкФ, катушки индуктивности L = 3 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 1 Ом подключили к источнику гармонического напряжения V cos t, частоту  которого можно менять, не изменяя его амплитуды V.

Найти:

1) значения частот ₁ и ₂, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе V_C = 2V;

2) векторные диаграммы, значения сопротивлений конденсатора X_C и катушки индуктивности X_L на частотах ₁ и ₂;

3) значение частоты ₃ , на которой X_C = X_L, и векторную диаграмму напряжений на этой частоте.

Вариант 6.

Переменное напряжение V cos t с частотой  = 2150 1/с и амплитудой V = 100 В подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки с индуктивностью L = 1,3 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 0,7 Ом. При каком значении емкости C конденсатора амплитуда напряжения на нем V_C = 198 В? Каковы при этом векторная диаграмма и значения сопротивлений конденсатора X_C и катушки индуктивности X_L?

Вариант 7.

В колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных конденсатора емкости C, катушки с индуктивностью L = 2,2 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 2,2 Ом, последовательно включен источник переменной ЭДС V cos t. Найти значение емкости C колебательного контура, если известно, что при резонансе напряжение V_C на конденсаторе в 3 раза превышает напряжение V на источнике, т.е. V_C/V = 3. Каковы при этом векторная диаграмма напряжений и значения сопротивлений конденсатора X_C и катушки индуктивности X_L?

Вариант 8.

Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 50 мкФ, катушки с индуктивностью L (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 0,8 Ом, подключена к источнику переменной ЭДС V cos t. Индуктивность катушки L подобрана так, что на частоте  = 5900 1/с сопротивление индуктивности X_L = 5,9 Ом? Найти индуктивность L и построить векторную диаграмму напряжений на частоте .

Вариант 9.

Последовательно соединенные конденсатор емкости C = 52 мкФ, катушка с индуктивностью L (без активного сопротивления) и резистор с сопротивлением R = 0,8 Ом подключены к источнику гармонического напряжения V cos t, круговую частоту  которого можно менять, не изменяя его амплитуды V. При частотах ₁ = 3340 1/с и ₂ = 4520 1/с амплитуда напряжения на конденсаторе оказалась одинаковой и равной V_С = 3V. Найти индуктивность L катушки. Каковы на частотах ₁ и ₂ векторные диаграммы напряжений и значения сопротивлений конденсатора X_С и катушки индуктивности X_L?

Вариант 10.

К концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 100 мкФ, катушки с индуктивностью L = 2,5 мГн (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением R = 0,8 Ом, подают поочередно два переменных напряжения V cos t одинаковой амплитуды V, но разной частоты. Частота одного напряжения равна собственной частоте ₀, другого - 2 ₀. Найти отношение амплитуд напряжения на конденсаторе, возбуждаемых обоими напряжениями. Найти это же отношение в случае, если сопротивление резистора увеличить до R = 1,6 Ом.