2 История развития метода конечных элементов
Возникновение МКЭ связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [15]. Эта работа способствовала появлению других работ, был опубликован ряд статей с применениями МКЭ к задачам строительной механики и механики сплошных сред.
Дальнейшее распространение практических применений метода конечных элементов является следствием развития технологии в середине пятидесятых годов. Основной указанной выше предпосылкой развития метода является возможность автоматически эффективно построить и решить систему алгебраических уравнений высокого порядка. Распространение электронных вычислительных машин в середине пятидесятых годов позволило удовлетворить этим требованиям. В течение этого же периода выкристаллизовались теоретические концепции метода конечных элементов. Представляется интересным проследить подробнее историю развития этих концепций [1].
Несмотря на то, что периоду с 1850 по 1875 гг. непосредственно предшествовал период выдающихся достижений таких представителей французской школы теории упругости, как Навье и Сен-Венан, все же по логике вещей именно этот период можно считать отправной точкой. В это время благодаря усилиям Максвелла, Кастильяно и Мора были выработаны основные концепции теории анализа стержневых конструкций. Эти концепции являются краеугольным камнем матричных методов строительной механики, которые окончательно оформились лишь спустя 80 лет и в свою очередь явились основой метода конечных элементов.
Развитие теории и вспомогательных дисциплин, относящихся к методу конечных элементов, было особенно слабым в период с 1875 по 1920 г. Это происходило в основном из-за наличия реальных трудностей при решении алгебраических уравнений, как только число неизвестных становилось большим. Необходимо, кроме того, заметить, что для конструкций, представляющих наибольший интерес в то время, рам и ферм, почти всегда применялся подход, основанный на задании распределения напряжений [8] с параметрами нагрузки в качестве неизвестных.
Приблизительно к 1920 г. благодаря усилиям Мэйни в США и Остенфельда в Нидерландах были сформулированы основные идеи численного исследования рамных и фермовых конструкций, основанного на задании перемещений в качестве неизвестных параметров. Эти идеи предшествовали современным матричным методам исследования конструкций. До тех пор пока в 1932 г. Харди Кросс не предложил метод моментных распределений, важнейшим сдерживающим факторам при анализе являлась размерность задач, определяемая числом неизвестных параметров перемещений или нагрузок. Метод моментных распределений позволил численно исследовать поведение конструкций в задачах, на порядок более сложных, чем самые трудные из задач, которые решались с помощью ранее существовавших методов. Этот метод стал основанием численного исследования поведения конструкций на следующие 25 лет.
Как упоминалось выше, вычислительные машины появились в начале пятидесятых годов, однако их действительная значимость, как в теоретических, так и в прикладных аспектах не была столь очевидной в то время. Все же некоторые ученые, предвидевшие влияние, которое окажут вычислительные машины, предприняли попытки сформулировать в удобной для компьютеров матричной форме хорошо разработанные к тому времени алгоритмы расчета фермовых конструкций.
Две заслуживающие упоминания работы выполнены Аргирисом и Келси, а также Тернером и др. В этих исследованиях были объединены подходы, используемые при расчете фермовых конструкции, с подходами, применяемыми при расчете сплошных сред; при этом была использована матричная форма записи. Эти работы оказали решающее влияние на развитие метода конечных элементов в последующие годы. Было бы неточным приписывать появление всех основных аспектов метода конечных элементов именно этим работам, потому что ключевые моменты метода имелись даже раньше 1950 г. в работах Куранта [11], Мак-Генри и Хренникова. Особенно важна работа Куранта, так как в ней рассмотрены задачи, описываемые уравнениями, относящимися не только к механике конструкций.
С середины пятидесятых годов, метод конечных элементов в своем развитии прошел через ряд непрерывных модификаций. Так же как и при формулировке специальных элементов для плоского напряженного состояния [9], исследователи выписали конечноэлементные соотношения для твердого деформируемого тела, изгибаемых пластин, тонких оболочек и других конструктивных форм. Как только были получены соотношения для исследования статического поведения линейно упругого материала, внимание специалистов было переключено на такие аспекты, как динамическое поведение, выпучивание, а также геометрическая и физическая нелинейности. Вслед за этими исследованиями наступил период довольно интенсивного развития вычислительных программ «общего назначения», обусловленный желанием обеспечить практиков возможностью применять указанный метод.
Начиная с 1955 г. метод распространился с второстепенных областей на наиболее перспективные направления численного исследования задач математической физики. Это широкий круг аналитических задач - расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн - и при этом не имеется в виду, что указанные задачи стоят далеко от проблем, возникающих на практике и при проектировании конструкций. Популярность метода и интерес к нему как раз и объясняются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования.
Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мэлош [13], который показал, что метод конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Релея-Ритца. Также было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики [3], распространения тепла [4], гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галеркина или метод наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений.
Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений [6]. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих цифровых вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительные машины позволили ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ.
В период с начала 1970-х до 1990-х годов в мире вышло несколько крупных монографий, посвященных методу конечных элементов и его применению для решения различных инженерных задач. Некоторые из этих монографий переведены на русский язык.