ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра философии
КОЖЕНКОВ Илья Викторович
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Реферат по специальности 05.13.18 - «Математическое
моделирование, численные методы и комплексы программ»
к экзамену кандидатского минимума по дисциплине
«ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ»
Научный руководитель
доктор технических наук,
профессор М.Э. Рояк
НОВОСИБИРСК
2012
Содержание
Содержание 2
Аннотация 3
Введение 4
1 Метод конечных элементов 5
2 История развития метода конечных элементов 7
Заключение 11
Список литературы 12
Аннотация
В работе рассматривается история становления метода конечных элементов (МКЭ), который в настоящее время применяется для решения широкого круга инженерных и прикладных задач. Выполнен анализ различных монографий и статей.
Введение
Современное проектирование сложных технических установок во многом определяется степенью эффективности предварительного математического моделирования, суть которого заключается в детальном анализе различных физических процессов. Математическое моделирование с использованием средств современных ЭВМ позволяет выполнять расчеты параметров работы таких установок при помощи приближенных численных методов. Метод конечных элементов (МКЭ) является одним из них. В последние десятилетия он занял ведущее положение и получил широкое применение. Часто математическое моделирование является единственно возможным способом исследования тех частей конструкций, непосредственные измерения в которых невозможны или крайне затруднительны, однако информация о распределении поля в этих частях является крайне важной и существенным образом влияет на конечный результат. В общем же случае, математическое моделирование дает возможность значительно уменьшить время анализа поля в установке заданной конфигурации и повысить точность. Следствием этого является сокращение расходов при реализации подобных сложных систем на практике.
Только математическое моделирование дает возможность найти с необходимой точностью оптимальную конструкцию, удовлетворяющую заданным требованиям. При этом именно точность является основной и очень часто критической характеристикой решения. Однако получение решения с высокой степенью точности требует больших вычислительных затрат. В связи с этим применение метода конечных элементов является не только оправданным, но и единственно возможным.
1 Метод конечных элементов
С середины 60-х годов чрезвычайно интенсивное развитие получил метод конечных элементов (МКЭ) численного решения краевых задач математической физики, превратившийся в отдельное направление вычислительной математики. По своей математической сути метод конечных элементов – это проекционный или вариационный метод (Галеркина или Ритца [1]), использующий кусочно-полиномиальное представление решения.
Ключевая идея метода заключается в следующем: поведение некоторой искомой величины (температуры, смещения, давления, потенциалов электрического и магнитного полей) в расчетной области моделируется путем разбиения этой области на подобласти (конечные элементы [7]), в каждой из которых поведение искомой величины описывается с помощью отдельного набора выбранных функций. Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовлетворить условиям непрерывности описываемых ими характеристик во всей области.
Процесс решения задачи в МКЭ сводится к разбиению расчетной области на конечные элементы, после чего на каждом элементе строятся локальные матрицы жесткости [8] и векторы нагрузок (названия, пришедшие из строительной механики и закрепившиеся в МКЭ), и, наконец, производится ассамблирование (сборка) глобальной матрицы системы и вектора правой части [2]. Эта общая схема дала направление огромному количеству исследований в плане разнообразия способов фрагментации области, использования различных типов полиномов, организации информационных потоков при построении системы уравнений. Все это направление получило название инженерного подхода МКЭ [5].
Однако указанное достоинство МКЭ вряд ли привлекло бы такое внимание вычислителей-математиков, если бы не чрезвычайно стройная математическая теория, появившаяся параллельно с развитием инженерного подхода. Оказалось, что МКЭ – это поиск обобщенных решений краевых задач на последовательности специально организованных конечномерных подпространств пространств Соболева. Или, иначе говоря, поиск последовательности ортогональных относительно скалярного произведения в так называемом энергетическом пространстве проекций функций из этого пространства на последовательность конечномерных подпространств. Последняя формулировка особенно привлекательна, поскольку в ней связь с конкретной задачей математической физики минимальна и состоит только в описании энергетического пространства, которое обычно является пространством Соболева, либо его некоторым замкнутым подпространством. В связи с этим главный вопрос всякой математической теории численных методов о сходимости последовательности приближенных решений к точному в МКЭ сводится к вопросу об аппроксимации пространств Соболева последовательностью конечномерных подпространств. В этом вопросе уже всякая прямая связь с конкретной краевой задачей отсутствует, что и дает возможность создания достаточно общей теории сходимости. В отличие от инженерного подхода эта сторона метода имеет название математической теории МКЭ. Стоит отметить, что в ее становлении и развитии большую роль сыграли российские математические школы.