Перетворення матриці квадратичної форми при переході до нового базису

Означення. Квадратичною формою від змінних називається однорідний многочлен другого степеня відносно цих змінних:

, (2.4)

Або в розгорнутому вигляді

.

Зауваження. Надалі вважатимемо, що змінні є координатами вектора простору , в якому зафіксовано базис . Тоді квадратична форма буде функцією , що задано на зі значеннями в R.

Означення. Симетрична матриця, складена з коефіцієнтів квадратичної форми називається матрицею квадратичної форми.

За допомогою матриці А квадратичну форму можна записати в матричному вигляді: де , .

Твердження. Якщо А - матриця квадратичної форми у базисі простору , то в базисі простору матриця квадратичної форми має вигляд: , де С – матриця переходу від базису до базису . При цьому , , , де - координати вектора у базисі .

Зауваження. Нехай змінні у квадратичній формі є координати вектора в ортонормованому базисі простору і нехай матриця С є ортогональною матрицею переходу від базису до ортонормованого базису . Тоді , оскільки . У цьому випадку перетворення матриці А лінійного симетричного оператора А збігається з перетворенням матриці А квадратичної форми . Тому, якщо в деякій ортонормованій системі координат простору матриця лінійного оператора А дорівнює матриці квадратичної форми , то ця рівність має місце в будь-якій іншій ортонормованій системі координат .

Метод Якобі

І спосіб подання

Нехай - матриця квадратичної форми в деякому базисі n – вимірного простору .

Позначимо через кутові мінори матриці А, тобто покладемо , , …, .

Припустимо, що мінори відмінні від нуля. Тоді існує не вироджене трикутне перетворення базису вигляду

…………………….

що переводить базис в базис і таке, що квадратична форма набуде в базисі канонічного вигляду: .

При цьому коефіцієнти перетворення базисних векторів визнають за формулою , де - мінор матриці А, що розташований на перетині рядків цієї матриці з номерами стовпців з номерами .

Канонічні коефіцієнти знаходять за формулами: , де - визначник матриці А.

ІІ спосіб подання

Метод Якобі можна застосувати до тих квадратичних або білінійних форм, матриці яких в початковому базисі мають відмінні від нуля головні мінори:

,

,

, (3.1)

…,

.

Якщо умови (1) справджуються, то будують канонічний базис у вигляді:

(3.2)

…………………….

,

де коефіцієнт знаходять з умови:

(3.3)

В такому базисі квадратична форма має канонічний вигляд:

. (3.4)