Зв’язано-лінійні форми

Означення. Числова функція векторного аргументу називається зв’язано-лінійною формою, якщо виконується умова

, (1.3)

де і - комплексні числа, спряжені числам і .

Ясно, що в дійсному просторі зв’язано-лінійна форма є лінійною. Можна показати, що загальний вид зв’язано-лінійної форми в - мірному комплексному лінійному просторі такий:

, (1.4)

або в матричній формі

. (1. )

Білінійна та квадратична форма Білінійна форма

Означення. Числова функція від двох векторних аргументів в лінійному просторі називається білінійною функцією або білінійною формою, якщо вона є лінійною функцією від при кожному фіксованому значенні і лінійною функцією від при кожному фіксованому значенні .

Іншими словами є білінійною формою від до , якщо для будь-якого і задовольняються рівності:

лінійність по першому аргументу; (2.1)

лінійність по другому аргументу.

Приклади.

1. Якщо і - лінійні форми, то є очевидно, білінійною формою від і .

2. В - мірному лінійному просторі з фіксованим базисом прикладом білінійної форми є функція , де , - довільні вектори і фіксовані числа.

3. В просторі скалярний добуток двох векторів і є білінійна форма від і .

Із визначення білінійної форми, використовуючи рівність (2.1) легко одержати загальну формулу

(2.2)

в якій, - довільні вектори простору , а - будь-які дійсні числа.

Білінійні форми, задані в нескінченних просторах, називають білінійними функціоналами.

Загальний вид білінійної форми в - мірному лінійному просторі

Нехай в лінійному - мірному просторі задана білінійна форма . Виберемо в довільний базис . Покладемо .

Тоді для будь-яких , , згідно формулі (2.2) (2.3) – загальний вид білінійної форми в лінійному просторі.

Коефіцієнти утворюють квадратну матрицю

яку ми називатимемо матрицею білінійної форми в базисі .

Білінійна форма називається симетричною, якщо для будь-яких векторів і .

Якщо білінійна форма симетрична, то отже, матриця симетричної білінійної форми в будь-якому базисі простору співпадає з транспонованою матрицею . Легко перевірити, що справедливе і обернене: якщо в деякому базисі , то форма симетрична.

Насправді , що і було потрібно.

Зокрема, ми одержуємо: якщо матриця білінійної форми , обчислена в деякому базисі, співпадає з транспонованою матрицею, то в будь-якому іншому базисі простору R матриця цієї форми також співпадає з транспонованою.

Матрицю, співпадаючу з транспонованою матрицею, ми називатимемо надалі симетричною.

Перетворення коефіцієнтів білінійної форми при зміні базису

Нехай і - два базиси n - вимірного простору L. Вектори - виражаються через базис формулами .

Нехай в базисі білінійна форма виражається формулою , а в базисі - формулою .

Так як , а , то ;

або остаточно

(2.3)

В матричному вигляді маємо, позначивши через і відповідно старі і нові координати векторів x i y, а через матрицю білінійної форми в новому базисі: , тобто

(2.3´)

Отже, доведена наступна теорема.

Теорема 2. Коефіцієнти білінійної форми перетворяться при переході від одного базису до іншого по формулах (2.3) за допомогою матриці Р прямого переходу, тобто інваріантно.

Для білінійної форми в дійсному n – мірному просторі формул (2.3´) приймає вигляд .